Алгебра. 8 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова · § 43

Упражнение 1108 к § 43

§ 43. Свойства функции · тема: Свойства функции

Задача 1

Условие (кратко)

а) Указать область определения и найти нули функции y = (x − √(x + 6))/(x + 5).

Решение

Область определения. Под корнем: $x + 6 \geqslant 0$ , $x \geqslant -6$ . Знаменатель: $x \ne -5$ .

$D(y) = [-6;\ -5) \cup (-5;\ +\infty)$ .

Нули. $x - \sqrt{x + 6} = 0$ , то есть $\sqrt{x + 6} = x$ . Корень неотрицателен, поэтому нужно $x \geqslant 0$ . Возведём в квадрат: $$x + 6 = x^2$$ , $$x^2 - x - 6 = 0$$ , $$x_1 = 3$$ , $$x_2 = -2$$ .

$$x = -2$$ не подходит ( $x \geqslant 0$ нарушено; проверка: $-2 - \sqrt{4} = -4 \ne 0$ ). При $$x = 3$$ числитель $3 - \sqrt{9} = 0$ , знаменатель $8 \ne 0$ .

Ответ

D(y) = [−6; −5) ∪ (−5; +∞); нуль x = 3

Почему так

Область определения — условия под корнем и в знаменателе; нули — корни числителя из области определения.

Подробнее — в теме «Свойства функции».

Задача 2

Условие (кратко)

б) Указать область определения и найти нули функции y = (4x² + 25x)/(2x − √(10 − 6x)).

Решение

Область определения. Под корнем: $10 - 6x \geqslant 0$ , $x \leqslant \dfrac{5}{3}$ .

Знаменатель не должен быть нулём: $2x = \sqrt{10 - 6x}$ возможно только при $x \geqslant 0$ ; тогда $$4x^2 = 10 - 6x$$ , $$2x^2 + 3x - 5 = 0$$ , $$x_1 = 1$$ , $x_2 = -2{,}5$ . Подходит $$x = 1$$ ( $2 = \sqrt{4}$ ), а $$x = -2{,}5 < 0$$ — нет.

$D(y) = (-\infty;\ 1) \cup \left(1;\ \dfrac{5}{3}\right]$ .

Нули. $$4x^2 + 25x = 0$$ , $$x(4x + 25) = 0$$ , $$x = 0$$ или $$x = -6{,}25$$ . Оба числа входят в область определения: знаменатель при $$x = 0$$ равен $-\sqrt{10} \ne 0$ , при $$x = -6{,}25$$ равен $-12{,}5 - \sqrt{47{,}5} \ne 0$ .

Ответ

D(y) = (−∞; 1) ∪ (1; 5/3]; нули −6,25 и 0

Почему так

Из области определения исключают значения, при которых знаменатель равен нулю или подкоренное выражение отрицательно.

Подробнее — в теме «Свойства функции».

Задача 1

Задача 2

Похожие задачи для тренировки