Алгебра. 8 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова · § 45

Упражнение 1129 к § 45

§ 45. Свойства функций y = k/x и y = √x · тема: Свойства функций y = k/x и y = √x

Задача 1

Условие (кратко)

а) Построить в одной системе координат графики y = √x и y = x. Указать координаты их общих точек.

Решение

Таблицы точек:

$$x$$	0	0,25	1	4	9
$\sqrt{x}$	0	0,5	1	2	3
$$x$$	0	0,25	1	4	9

По графикам общие точки — $(0;\ 0)$ и $(1;\ 1)$ . Проверим алгебраически: $\sqrt{x} = x$ при $x \geqslant 0$ . Возведём в квадрат: $$x = x^2$$ , $$x(x - 1) = 0$$ , $$x = 0$$ или $$x = 1$$ . Обе точки подходят: $\sqrt{0} = 0$ , $\sqrt{1} = 1$ .

Ответ

(0; 0) и (1; 1)

Почему так

Абсциссы общих точек графиков — корни уравнения √x = x.

Подробнее — в теме «Свойства функций y = k/x и y = √x».

Задача 2

Условие (кратко)

б) При каких x график y = √x расположен выше прямой y = x и при каких — ниже?

Решение

Графики пересекаются при $$x = 0$$ и $$x = 1$$ . Сравним значения между этими точками и правее.

При $$x = 0{,}25$$ : $\sqrt{0{,}25} = 0{,}5 > 0{,}25$ — график корня выше прямой. Вообще при $$0 < x < 1$$ имеем $$x^2 < x$$ , поэтому $x < \sqrt{x}$ .

При $$x = 4$$ : $\sqrt{4} = 2 < 4$ — график корня ниже прямой. При $$x > 1$$ имеем $$x^2 > x$$ , поэтому $x > \sqrt{x}$ .

При $$x < 0$$ функция $y = \sqrt{x}$ не определена, там графика нет.

Ответ

Выше прямой при 0 < x < 1, ниже прямой при x > 1

Почему так

Положение графиков сравнивают по значениям функций при одном и том же x; меняться оно может только в общих точках.

Подробнее — в теме «Свойства функций y = k/x и y = √x».

Задача 1

Задача 2

Похожие задачи для тренировки