Алгебра. 8 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова · § 45

Упражнение 1131 к § 45

Задача 1

Условие (кратко)

а) Построить график функции y = 3/x и перечислить её свойства.

Решение

Графиком является гипербола, $$k = 3 > 0$$ , ветви в I и III координатных четвертях.

$$x$$	−6	−3	−1	−0,5	0,5	1	3	6
$$y$$	−0,5	−1	−3	−6	6	3	1	0,5

Свойства:

$D(y) = (-\infty;\ 0) \cup (0;\ +\infty)$ .
$E(y) = (-\infty;\ 0) \cup (0;\ +\infty)$ .
Нулей нет.
$$y < 0$$ на $(-\infty;\ 0)$ , $$y > 0$$ на $(0;\ +\infty)$ .
Функция убывает на каждом из промежутков $(-\infty;\ 0)$ и $(0;\ +\infty)$ , но убывающей на всей области определения не является.

Ответ

Гипербола в I и III четвертях; D(y) = E(y) = (−∞; 0) ∪ (0; +∞); нулей нет; y < 0 при x < 0, y > 0 при x > 0; убывает на (−∞; 0) и на (0; +∞)

Почему так

При k > 0 функция y = k/x имеет знак аргумента и убывает на каждом из промежутков (−∞; 0) и (0; +∞).

Условие (кратко)

б) Построить график функции y = −4/x и перечислить её свойства.

Решение

Графиком является гипербола, $$k = -4 < 0$$ , ветви во II и IV координатных четвертях.

$$x$$	−8	−4	−2	−1	1	2	4	8
$$y$$	0,5	1	2	4	−4	−2	−1	−0,5

Свойства:

$D(y) = (-\infty;\ 0) \cup (0;\ +\infty)$ .
$E(y) = (-\infty;\ 0) \cup (0;\ +\infty)$ .
Нулей нет.
$$y > 0$$ на $(-\infty;\ 0)$ , $$y < 0$$ на $(0;\ +\infty)$ .
Функция возрастает на каждом из промежутков $(-\infty;\ 0)$ и $(0;\ +\infty)$ , но возрастающей на всей области определения не является.

Ответ

Гипербола во II и IV четвертях; D(y) = E(y) = (−∞; 0) ∪ (0; +∞); нулей нет; y > 0 при x < 0, y < 0 при x > 0; возрастает на (−∞; 0) и на (0; +∞)

Почему так

При k < 0 функция y = k/x имеет знак, противоположный знаку аргумента, и возрастает на каждом из промежутков (−∞; 0) и (0; +∞).