Задача 1
Условие (кратко)
Изобразить схематически в одной системе координат графики y = 1/x и y = 2/x. Имеют ли они общие точки? Обосновать алгебраически.
Решение
Обе гиперболы лежат в I и III четвертях. При каждом \(x \ne 0\) значение \(\dfrac{2}{x}\) вдвое больше по модулю, чем \(\dfrac{1}{x}\), поэтому ветви \(y = \dfrac{2}{x}\) проходят дальше от осей: например, \((1;\ 1)\) и \((1;\ 2)\), \((-1;\ -1)\) и \((-1;\ -2)\).
Алгебраически: общая точка была бы при \(\dfrac{1}{x} = \dfrac{2}{x}\), \(x \ne 0\). Умножим на \(x\): \(1 = 2\) — неверно ни при каком \(x\). Значит, общих точек нет.
Ответ
Нет, общих точек нет — равенство 1/x = 2/x приводит к неверному 1 = 2
Почему так
Общие точки графиков ищут, приравнивая выражения функций; если уравнение не имеет корней, общих точек нет.
Подробнее — в теме «Свойства функций y = k/x и y = √x».