Упражнение 1134 к § 45

\(D(y) = [0;\ +\infty)\). Пусть \(0 \leqslant x_1 < x_2\). Тогда \(5x_1 < 5x_2\) (функция \(y = 5x\) возрастает) и \(\sqrt{x_1} < \sqrt{x_2}\) (функция \(y = \sqrt{x}\) возрастает).

Складываем неравенства одного знака: \(5x_1 + \sqrt{x_1} < 5x_2 + \sqrt{x_2}\). Большему аргументу соответствует большее значение — функция возрастающая.

\(D(y)\): \(-x \geqslant 0\), то есть \(x \leqslant 0\), \(D(y) = (-\infty;\ 0]\).

Пусть \(x_1 < x_2 \leqslant 0\). Тогда \(-x_1 > -x_2 \geqslant 0\), поэтому и \(\sqrt{-x_1} > \sqrt{-x_2}\) (корень возрастает).

Складываем: \(-x_1 + \sqrt{-x_1} > -x_2 + \sqrt{-x_2}\). Большему аргументу соответствует меньшее значение — функция убывающая.

\(D(y) = [0;\ +\infty)\). Пусть \(0 \leqslant x_1 < x_2\). Обе части неотрицательны, поэтому \(x_1^2 < x_2^2\); кроме того, \(\sqrt{x_1} < \sqrt{x_2}\).

Складываем: \(x_1^2 + \sqrt{x_1} < x_2^2 + \sqrt{x_2}\) — функция возрастающая.

Важно, что \(x \geqslant 0\): на всей числовой прямой \(y = x^2\) не возрастает, но корень ограничивает область определения неотрицательными числами, а там \(x^2\) возрастает.