Алгебра. 8 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова · § 46

Упражнение 1142 к § 46

§ 46. Целая и дробная части числа · тема: Целая и дробная части числа

Задача 1

Условие (кратко)

а) Построить график функции y = 2[x].

Решение

Если $n \leqslant x < n + 1$ ( $$n$$ — целое), то $$[x] = n$$ и $$y = 2n$$ . Значит, на каждом промежутке $[n;\ n + 1)$ график — горизонтальный отрезок на высоте $$2n$$ .

$$x$$	$$-2$$	$$-1{,}5$$	$$-1$$	$$0$$	$$0{,}5$$	$$1$$	$$2$$	$$2{,}9$$
$$y$$	$$-4$$	$$-4$$	$$-2$$	$$0$$	$$0$$	$$2$$	$$4$$	$$4$$

Ступеньки: на $[-2;\ -1)$ $$y = -4$$ , на $[-1;\ 0)$ $$y = -2$$ , на $[0;\ 1)$ $$y = 0$$ , на $[1;\ 2)$ $$y = 2$$ , на $[2;\ 3)$ $$y = 4$$ и т. д. Левый конец каждой ступеньки — закрашенная точка, правый — пустой кружок.

По сравнению с графиком $$y = [x]$$ ступеньки той же длины 1, но в два раза выше: каждая следующая на 2 выше предыдущей. Множество значений — все чётные числа.

Ответ

Лесенка из ступенек длиной 1: на [n; n + 1) y = 2n, каждая ступенька на 2 выше предыдущей; левые концы закрашены, правые — пустые

Почему так

На промежутке [n; n + 1) целая часть x постоянна и равна n, поэтому y = 2n.

Подробнее — в теме «Целая и дробная части числа».

Задача 2

Условие (кратко)

б) Построить график функции y = [2x].

Решение

$$[2x] = k$$ , если $k \leqslant 2x < k + 1$ , то есть $\dfrac{k}{2} \leqslant x < \dfrac{k + 1}{2}$ . Значит, ступеньки имеют длину $$0{,}5$$ и высоту 1.

$$x$$	$$-1$$	$$-0{,}5$$	$$-0{,}2$$	$$0$$	$$0{,}3$$	$$0{,}5$$	$$1$$	$$1{,}7$$
$$y$$	$$-2$$	$$-1$$	$$-1$$	$$0$$	$$0$$	$$1$$	$$2$$	$$3$$

Ступеньки: на $[-1;\ -0{,}5)$ $$y = -2$$ , на $[-0{,}5;\ 0)$ $$y = -1$$ , на $[0;\ 0{,}5)$ $$y = 0$$ , на $[0{,}5;\ 1)$ $$y = 1$$ , на $[1;\ 1{,}5)$ $$y = 2$$ и т. д. Левые концы закрашены, правые — пустые.

В отличие от $$y = 2[x]$$ , здесь ступеньки вдвое короче, а «прыжок» — на 1. Множество значений — все целые числа.

Ответ

Лесенка из ступенек длиной 0,5 и высотой 1: на [k/2; (k + 1)/2) y = k; левые концы закрашены, правые — пустые

Почему так

Целая часть 2x меняется каждый раз, когда 2x переходит через целое число, то есть x — через число, кратное 0,5.

Подробнее — в теме «Целая и дробная части числа».

Задача 3

Условие (кратко)

в) Построить график функции y = −[x].

Решение

Если $n \leqslant x < n + 1$ , то $$[x] = n$$ и $$y = -n$$ . Каждая ступенька графика $$y = [x]$$ отражается относительно оси $$x$$ .

$$x$$	$$-2$$	$$-1$$	$$-0{,}5$$	$$0$$	$$0{,}5$$	$$1$$	$$2{,}5$$
$$y$$	$$2$$	$$1$$	$$1$$	$$0$$	$$0$$	$$-1$$	$$-2$$

Ступеньки: на $[-2;\ -1)$ $$y = 2$$ , на $[-1;\ 0)$ $$y = 1$$ , на $[0;\ 1)$ $$y = 0$$ , на $[1;\ 2)$ $$y = -1$$ , на $[2;\ 3)$ $$y = -2$$ и т. д. Лесенка идёт вниз слева направо. Концы остаются такими же, как у $$y = [x]$$ : левый закрашен, правый пустой (например, $$y(1) = -1$$ , а не 0).

Ответ

Лесенка, спускающаяся слева направо: на [n; n + 1) y = −n; левые концы закрашены, правые — пустые

Почему так

График y = −[x] симметричен графику y = [x] относительно оси x.

Подробнее — в теме «Целая и дробная части числа».

Задача 1

Задача 2

Задача 3

Похожие задачи для тренировки