Что нужно знать до
Если что-то из этого забылось, начни оттуда — так будет понятнее.
Коротко о главном
Целая часть числа \(x\) — наибольшее целое число, не превосходящее \(x\); её обозначают \([x]\). Дробная часть — то, что остаётся: \(\{x\} = x - [x]\), она всегда не меньше 0 и меньше 1.
Подробное объяснение
Когда спрашивают, сколько тебе лет, отвечают числом полных лет. Если с рождения прошло 13,8 года, говорят «13», а не «14», хотя 14 ближе. Это и есть целая часть: число не округляют, а «опускают» до ближайшего целого, которое его не превосходит. А 0,8 года — дробная часть, «хвостик», который в ответ не попал.
Целая часть
Определение. Целой частью числа \(x\) называют наибольшее целое число, не превосходящее \(x\). Обозначение: \([x]\).
Удобнее всего думать о координатной прямой. Отметьте число \(x\) и идите влево до первого целого числа — это и есть \([x]\). Если \(x\) само целое, никуда идти не надо: \([7] = 7\).
У положительных чисел всё привычно: \([3{,}9] = 3\), \([0{,}2] = 0\). Просто отбрасываем цифры после запятой.
С отрицательными нужно внимание. Возьмём \(-3{,}9\). Число \(-3\) лежит правее, оно больше \(-3{,}9\) и не подходит. Первое целое слева — это \(-4\). Значит, \([-3{,}9] = -4\). Проверка по определению: \(-4 \leqslant -3{,}9 < -3\). Так же \([-0{,}5] = -1\).
Главная запись, которой пользуются в задачах: \([x] = n\) означает, что \(n\) — целое и \(n \leqslant x < n + 1\).
Дробная часть
Определение. Дробной частью числа \(x\) называют разность \(\{x\} = x - [x]\).
На координатной прямой это расстояние от \([x]\) до \(x\). Поэтому дробная часть никогда не бывает отрицательной и всегда меньше 1: \(0 \leqslant \{x\} < 1\).
Для положительных чисел — это цифры после запятой: \(\{5{,}36\} = 0{,}36\). Для отрицательных — нет! \(\{-5{,}36\} = -5{,}36 - (-6) = 0{,}64\). Если число не целое, то \(\{-x\} = 1 - \{x\}\): здесь \(1 - 0{,}36 = 0{,}64\). У целых чисел дробная часть равна нулю.
Из определения сразу следует: \(x = [x] + \{x\}\) — любое число складывается из целой и дробной частей.
График целой части — «лесенка»
Если \(0 \leqslant x < 1\), то \([x] = 0\); если \(1 \leqslant x < 2\), то \([x] = 1\); если \(-1 \leqslant x < 0\), то \([x] = -1\), и так далее. На каждом промежутке \([n;\ n + 1)\) функция постоянна и равна \(n\), а в точке \(x = n + 1\) резко прыгает на 1 вверх. Получается «лесенка».
![Координатная плоскость с графиком y = [x]: горизонтальные ступеньки длиной 1 на высотах −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3. У каждой ступеньки левый конец — закрашенная точка, правый — пустой кружок.](/media/figures/celaya-i-drobnaya-chasti-chisla-1.svg)
Левый конец каждой ступеньки графику принадлежит (закрашенная точка), правый — нет (пустой кружок): например, \([2] = 2\), поэтому точка \((2;\ 1)\) на графике не лежит, а \((2;\ 2)\) лежит. Область определения — все числа, множество значений — все целые числа.
График дробной части — «пила»
На промежутке \([0;\ 1)\) имеем \(\{x\} = x\) — график совпадает с прямой \(y = x\). На \([1;\ 2)\) имеем \(\{x\} = x - 1\) — отрезок прямой \(y = x - 1\). Каждый кусок начинается в закрашенной точке \((n;\ 0)\) и поднимается к пустой точке \((n + 1;\ 1)\). Получается «пила» из одинаковых зубцов, повторяющихся через каждую единицу. Множество значений — промежуток \([0;\ 1)\).
Как решать задачи
- Чтобы найти \([x]\), найди два соседних целых числа \(n\) и \(n + 1\), между которыми лежит \(x\), так, чтобы \(n \leqslant x < n + 1\). Ответ — меньшее из них, \(n\).
- Для отрицательного нецелого числа проверь себя: целая часть должна быть меньше самого числа, а не больше.
- Чтобы найти \(\{x\}\), сначала найди \([x]\), затем вычисли \(x - [x]\). Результат должен оказаться в промежутке \([0;\ 1)\).
- Если внутри скобок выражение (\([2x]\), \(\{-3x\}\)), сначала посчитай его значение, а потом бери целую или дробную часть.
- Для графика раздели ось \(x\) на промежутки, где \([x]\) постоянна, и на каждом запиши функцию без скобок. Отметь, какие концы закрашены, а какие — пустые.
Разобранные примеры
Целая и дробная части отрицательного числа
Найдите \([-5{,}4]\) и \(\{-5{,}4\}\).
Число \(-5{,}4\) лежит между \(-6\) и \(-5\): \(-6 \leqslant -5{,}4 < -5\). Значит, \([-5{,}4] = -6\).
\(\{-5{,}4\} = -5{,}4 - (-6) = 0{,}6\).
Проверка: \([-5{,}4] + \{-5{,}4\} = -6 + 0{,}6 = -5{,}4\).
Выражения с целой и дробной частью
Известно, что \(x = 3{,}4\). Найдите \([2x]\), \(2[x]\) и \(\{-x\}\).
\(2x = 6{,}8\), поэтому \([2x] = [6{,}8] = 6\).
\([x] = [3{,}4] = 3\), поэтому \(2[x] = 6\). Здесь результаты совпали, но это случайность: при \(x = 3{,}6\) было бы \([7{,}2] = 7\), а \(2 \cdot 3 = 6\).
\(-x = -3{,}4\), \([-3{,}4] = -4\), поэтому \(\{-x\} = -3{,}4 + 4 = 0{,}6\).
Уравнение с целой частью
Решите уравнение \([2x] = 3\).
\([2x] = 3\) означает, что \(3 \leqslant 2x < 4\). Разделим все части на 2: \(1{,}5 \leqslant x < 2\).
Проверка концов: при \(x = 1{,}5\) имеем \([3] = 3\) — подходит; при \(x = 2\) имеем \([4] = 4\) — не подходит, поэтому скобка у 2 круглая.
Типичные ошибки
Число \(-3\) больше, чем \(-3{,}7\), а целая часть не может превосходить само число. «Отбросить хвост» работает только для положительных чисел.
Ищем ближайшее целое слева на координатной прямой: \(-4 \leqslant -3{,}7 < -3\), значит, \([-3{,}7] = -4\).
По определению \(\{x\} = x - [x]\), а \([x] \leqslant x\), поэтому разность не может быть отрицательной.
\(\{-3{,}7\} = -3{,}7 - (-4) = 0{,}3\). Проверка: \(-4 + 0{,}3 = -3{,}7\).
Тогда в точке \(x = 1\) функция имела бы сразу два значения, 0 и 1, а у функции каждому \(x\) соответствует одно значение. На самом деле \([1] = 1\).
Левый конец ступеньки — закрашенная точка, правый — пустой кружок: на \([0;\ 1)\) значение 0, а точка \((1;\ 0)\) графику не принадлежит.
Проверь себя
Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.
-
Чему равна целая часть числа \(-4{,}2\)?
Показать ответ
Ответ: -5
Наибольшее целое число, не превосходящее \(-4{,}2\), — это \(-5\): \(-5 \leqslant -4{,}2 < -4\).
-
Чему равна дробная часть числа \(-0{,}3\)?
Показать ответ
Ответ: В) 0,7
\([-0{,}3] = -1\), поэтому \(\{-0{,}3\} = -0{,}3 - (-1) = 0{,}7\). Дробная часть не бывает отрицательной.
-
Какие утверждения верны при любом \(x\)?
Правильных ответов несколько.
Показать ответ
Ответ: А) Целая часть числа не больше самого числа; Г) Число равно сумме своей целой и дробной частей
\([x] \leqslant x\) и \(x = [x] + \{x\}\) — прямо из определений. Дробная часть всегда от 0 до 1. А \([-x] \ne -[x]\) для нецелых \(x\): \([-2{,}5] = -3\), но \(-[2{,}5] = -2\).
-
Каково множество значений функции \(y = \{x\}\)?
Показать ответ
Ответ: А) [0; 1)
Дробная часть равна нулю у целых чисел и всегда меньше 1, поэтому множество значений — \([0;\ 1)\).
-
Какое значение принимает функция \(y = [x]\) в точке \(x = 2\)?
Показать ответ
Ответ: Б) 2
\([2] = 2\). На графике в точке \(x = 2\) закрашен левый конец верхней ступеньки, а правый конец нижней — пустой кружок.
Результат:
Задачи для тренировки
От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.
Найдите \([6{,}3]\) и \([-6{,}3]\).
Подсказка
Найдите ближайшее целое число, которое не больше данного: на координатной прямой оно слева.
Решение
\(6 \leqslant 6{,}3 < 7\), поэтому \([6{,}3] = 6\). \(-7 \leqslant -6{,}3 < -6\), поэтому \([-6{,}3] = -7\).
Ответ
Найдите \(\{9{,}25\}\) и \(\{-9{,}25\}\).
Подсказка
Дробная часть равна \(x - [x]\). Сначала найдите целую часть.
Решение
\(\{9{,}25\} = 9{,}25 - 9 = 0{,}25\). \([-9{,}25] = -10\), поэтому \(\{-9{,}25\} = -9{,}25 - (-10) = 0{,}75\).
Ответ
Найдите \(\left\{-2\dfrac{3}{7}\right\}\).
Подсказка
Целая часть числа \(-2\dfrac{3}{7}\) равна \(-3\).
Решение
\(-3 \leqslant -2\dfrac{3}{7} < -2\), значит, \(\left[-2\dfrac{3}{7}\right] = -3\) и \(\left\{-2\dfrac{3}{7}\right\} = -2\dfrac{3}{7} + 3 = \dfrac{4}{7}\).
Ответ
Известно, что \(x = 1{,}35\). Найдите \([3x]\) и \(3[x]\).
Подсказка
В первом случае сначала умножьте, во втором — сначала возьмите целую часть.
Решение
\(3x = 4{,}05\), \([4{,}05] = 4\). \([x] = [1{,}35] = 1\), \(3[x] = 3\). Результаты разные.
Ответ
Решите уравнение \([x] = -2\).
Подсказка
По определению \([x] = n\) означает \(n \leqslant x < n + 1\).
Решение
\([x] = -2\) тогда и только тогда, когда \(-2 \leqslant x < -1\). Решения — все числа промежутка \([-2;\ -1)\): например, \(-2\), \(-1{,}5\), \(-1{,}01\), но не \(-1\), ведь \([-1] = -1\).
Ответ
Найдите число \(x\), если \([x] = -4\) и \(\{x\} = 0{,}3\).
Подсказка
Любое число равно сумме своей целой и дробной частей.
Решение
\(x = [x] + \{x\} = -4 + 0{,}3 = -3{,}7\). Проверка: \([-3{,}7] = -4\), \(\{-3{,}7\} = -3{,}7 + 4 = 0{,}3\).
Ответ
Для родителя
Как объяснить за 5 минут. Нарисуйте числовую прямую. Целая часть — «шагни влево до ближайшего целого»: от 2,6 — к 2, от −2,6 — к −3. Дробная часть — длина этого шага: 0,6 и 0,4. Поможет пример с возрастом: «13 полных лет», даже если до 14 осталось два месяца. Вопросы для проверки понимания: 1) Чему равны \([-1{,}2]\) и \(\{-1{,}2\}\)? (−2 и 0,8.) 2) Может ли дробная часть быть равной 1 или отрицательной? (Нет.) 3) Принадлежит ли точка \((3;\ 2)\) графику \(y = [x]\)? (Нет, \([3] = 3\).) На что обратить внимание. Почти все ошибки — на отрицательных числах: ребёнок по привычке отбрасывает дробь. Попросите каждый раз проверять, что целая часть не больше самого числа, а дробная лежит от 0 до 1.