Алгебра. 8 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова · § 6

Упражнение 144 к § 6

Задача 1

Условие (кратко)

а) Выполнить действие (a² + ax + x²)/(x − 1) : (a³ − x³)/(x² − 1).

Решение

$$a^3 - x^3 = (a - x)(a^2 + ax + x^2)$$ , $$x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$$ .

$\dfrac{a^2 + ax + x^2}{x - 1} \cdot \dfrac{(x - 1)(x + 1)}{(a - x)(a^2 + ax + x^2)} = \dfrac{x + 1}{a - x}$ .

Ответ

(x + 1)/(a − x)

Почему так

Разность кубов и разность квадратов дают общие множители, на которые сокращают.

Подробнее — в теме «Деление дробей».

Условие (кратко)

б) Выполнить действие (ap² − 9a)/(p³ − 8) : (p + 3)/(2p − 4).

Решение

$$ap^2 - 9a = a(p - 3)(p + 3)$$ , $$p^3 - 8 = (p - 2)(p^2 + 2p + 4)$$ , $$2p - 4 = 2(p - 2)$$ .

$\dfrac{a(p - 3)(p + 3)}{(p - 2)(p^2 + 2p + 4)} \cdot \dfrac{2(p - 2)}{p + 3} = \dfrac{2a(p - 3)}{p^2 + 2p + 4} = \dfrac{2ap - 6a}{p^2 + 2p + 4}$ .

Ответ

(2ap − 6a)/(p² + 2p + 4)

Почему так

Разность квадратов и разность кубов дают общие множители (p + 3) и (p − 2), на них сокращают.

Подробнее — в теме «Деление дробей».