Какие условия нужны, чтобы выражение a/b : c/d имело смысл?

Знаменатель b не равен нулю

Числитель c не равен нулю

Знаменатель d не равен нулю

Числитель a не равен нулю

Какие равенства верны?

\dfrac{x^2 - 1}{x} : (x - 1) = \dfrac{x + 1}{x}

\dfrac{4}{a} : \dfrac{2}{a^2} = 2a

\dfrac{1 - x}{y} : \dfrac{x - 1}{y} = 1

\dfrac{a}{3} : \dfrac{a}{6} = \dfrac{1}{2}

Деление дробей — 8 класс, алгебра: объяснение, примеры, задачи

Что нужно знать до

Если что-то из этого забылось, начни оттуда — так будет понятнее.

Умножение дробей. Возведение дроби в степень

Коротко о главном

Чтобы разделить одну рациональную дробь на другую, первую дробь умножают на дробь, обратную второй. Многочлен-делитель сначала записывают дробью со знаменателем 1.

\dfrac{a}{b} : \dfrac{c}{d} = \dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{d}{c} = \dfrac{ad}{bc}, \quad b \ne 0,\ c \ne 0,\ d \ne 0

Подробное объяснение

Представьте, что в кувшине полтора литра компота, а в стакан помещается четверть литра. Сколько стаканов наполним? Нужно узнать, сколько раз $\dfrac{1}{4}$ помещается в $\dfrac{3}{2}$ , то есть найти $\dfrac{3}{2} : \dfrac{1}{4}$ . В одном литре четыре четвертинки, значит, в полутора литрах их $\dfrac{3}{2} \cdot 4 = 6$ . Разделить на $\dfrac{1}{4}$ — всё равно что умножить на $$4$$ , то есть на перевёрнутую дробь $\dfrac{4}{1}$ .

Правило

С алгебраическими дробями всё точно так же, как с числовыми. Если $$a$$ , $$b$$ , $$c$$ , $$d$$ — многочлены, причём $$b$$ , $$c$$ и $$d$$ не равны нулю, то

\dfrac{a}{b} : \dfrac{c}{d} = \dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{d}{c} = \dfrac{ad}{bc}.

Дробь $\dfrac{d}{c}$ называют обратной к дроби $\dfrac{c}{d}$ : их произведение равно 1. Переворачивают только делитель — вторую дробь. Первая остаётся на месте.

Почему $$c$$ тоже не должен быть нулём? После переворота $$c$$ оказывается в знаменателе. К тому же дробь $\dfrac{c}{d}$ при $$c = 0$$ равна нулю, а на ноль делить нельзя.

Деление на многочлен и многочлена на дробь

Любой многочлен можно записать дробью со знаменателем 1: $x + 2 = \dfrac{x + 2}{1}$ . Поэтому

\dfrac{a}{b} : (x + 2) = \dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{1}{x + 2} = \dfrac{a}{b(x + 2)}.

Если же многочлен делят на дробь, его умножают на обратную дробь: $(x + 2) : \dfrac{c}{d} = \dfrac{(x + 2)d}{c}$ .

Знак частного

Знаки работают так же, как при умножении: если у делимого и делителя знаки разные, перед частным ставят минус, а два минуса дают плюс. Минус выносят перед дробью, а не оставляют в знаменателе. Пригодится и замена $$1 - x = -(x - 1)$$ : она часто помогает увидеть одинаковые множители.

Несколько действий подряд

Умножение и деление выполняют по порядку слева направо. Удобно сразу заменить каждое деление умножением на обратную дробь — тогда всё выражение превращается в одно произведение, и сократить можно всё сразу.

Как решать

Если делимое или делитель — многочлен, запишите его дробью со знаменателем 1.
Замените деление умножением: первую дробь оставьте, вторую переверните.
Разложите все числители и знаменатели на множители: вынесите общий множитель, примените формулы сокращённого умножения или группировку.
Запишите произведение одной дробью и сократите общие множители.
Проверьте знак и при необходимости раскройте скобки в ответе. Помните, что переменные не могут обращать в ноль знаменатели и числитель делителя.

Разобранные примеры

База

Деление одночленных дробей

Условие

Выполните деление $\dfrac{9x^2}{4y} : \dfrac{3x}{8y^3}$ .

Решение

Перевернём вторую дробь и умножим:

\dfrac{9x^2}{4y} \cdot \dfrac{8y^3}{3x} = \dfrac{72x^2y^3}{12xy} = 6xy^2.

Ответ: 6xy²

Средний

Дроби с многочленами

Условие

Выполните деление $\dfrac{a^2 - 9}{5a} : \dfrac{a + 3}{10a^2}$ .

Решение

Разложим $$a^2 - 9 = (a - 3)(a + 3)$$ и умножим на обратную дробь:

\dfrac{(a - 3)(a + 3)}{5a} \cdot \dfrac{10a^2}{a + 3} = \dfrac{10a^2(a - 3)(a + 3)}{5a(a + 3)} = 2a(a - 3) = 2a^2 - 6a.

Ответ: 2a² − 6a

Сложный

Многочлен делим на дробь

Условие

Выполните деление $(4 - m^2) : \dfrac{m^2 - 2m}{m + 1}$ .

Решение

Разложим на множители: $$4 - m^2 = (2 - m)(2 + m) = -(m - 2)(m + 2)$$ , а $$m^2 - 2m = m(m - 2)$$ . Тогда

-(m - 2)(m + 2) \cdot \dfrac{m + 1}{m(m - 2)} = -\dfrac{(m + 2)(m + 1)}{m}.

Ответ: −(m + 2)(m + 1)/m

Типичные ошибки

Переворачивают первую дробь вместо второй

Почему неверно

Деление некоммутативно: $\dfrac{a}{b} : \dfrac{c}{d}$ и $\dfrac{c}{d} : \dfrac{a}{b}$ — взаимно обратные числа. Если перевернуть делимое, получится $\dfrac{b}{a} \cdot \dfrac{c}{d}$ — это ответ, обратный верному.

Как правильно

Первая дробь остаётся без изменений, переворачивается только делитель: $\dfrac{2}{x} : \dfrac{4}{x^2} = \dfrac{2}{x} \cdot \dfrac{x^2}{4} = \dfrac{x}{2}$ .

Сокращают до замены деления умножением

Почему неверно

В записи $\dfrac{6a}{b} : \dfrac{3a}{c}$ хочется сократить $$6a$$ и $$3a$$ — они стоят рядом. Но это два числителя, а сокращать можно только множитель числителя с множителем знаменателя одной дроби или произведения. Бывает и наоборот: сокращают «крест-накрест» как при умножении, а потом ещё и переворачивают делитель.

Как правильно

Сначала заменить деление умножением, потом сокращать: $\dfrac{6a}{b} \cdot \dfrac{c}{3a} = \dfrac{2c}{b}$ .

Теряют минус в скобках вида 1 − x

Почему неверно

Множители $$1 - x$$ и $$x - 1$$ не равны, а противоположны. Если сократить их как одинаковые, ответ получится с неверным знаком: $\dfrac{1 - x}{y} : \dfrac{x - 1}{y}$ равно $$-1$$ , а не $$1$$ .

Как правильно

Перед сокращением вынести минус: $$1 - x = -(x - 1)$$ , а затем поставить минус перед всей дробью-ответом.

Проверь себя

Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.

Проверь себя по всему разделу

Задачи для тренировки

От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.

База Задача 1

Выполните деление $\dfrac{4a}{9b^2} : \dfrac{2a^2}{3b}$ .

Подсказка

Умножьте первую дробь на дробь, обратную второй, и сократите.

Решение

$\dfrac{4a}{9b^2} : \dfrac{2a^2}{3b} = \dfrac{4a \cdot 3b}{9b^2 \cdot 2a^2} = \dfrac{12ab}{18a^2b^2} = \dfrac{2}{3ab}$ .

Ответ

2/(3ab)

База Задача 2

Выполните деление $\dfrac{10x^3}{y} : (5x)$ .

Подсказка

Запишите $$5x$$ как дробь $\dfrac{5x}{1}$ .

Решение

$\dfrac{10x^3}{y} : \dfrac{5x}{1} = \dfrac{10x^3}{y} \cdot \dfrac{1}{5x} = \dfrac{10x^3}{5xy} = \dfrac{2x^2}{y}$ .

Ответ

2x²/y

Средний Задача 3

Выполните деление $\dfrac{x^2 - 25}{3x} : \dfrac{x + 5}{6x^2}$ .

Подсказка

Разложите $$x^2 - 25$$ по формуле разности квадратов.

Решение

$\dfrac{x^2 - 25}{3x} : \dfrac{x + 5}{6x^2} = \dfrac{(x - 5)(x + 5) \cdot 6x^2}{3x(x + 5)} = 2x(x - 5) = 2x^2 - 10x$ .

Ответ

2x² − 10x

Средний Задача 4

Выполните деление $\dfrac{a^2 - 4a}{b + 2} : \dfrac{3a - 12}{b^2 - 4}$ .

Подсказка

Вынесите общие множители и разложите $$b^2 - 4$$ .

Решение

$\dfrac{a(a - 4)}{b + 2} \cdot \dfrac{(b - 2)(b + 2)}{3(a - 4)} = \dfrac{a(b - 2)}{3}$ .

Ответ

a(b − 2)/3

Сложный Задача 5

Выполните деление $\dfrac{y^3 + 8}{y - 3} : \dfrac{y^2 - 2y + 4}{y^2 - 9}$ .

Подсказка

Числитель первой дроби — сумма кубов.

Решение

$$y^3 + 8 = (y + 2)(y^2 - 2y + 4)$$ , $$y^2 - 9 = (y - 3)(y + 3)$$ .

$\dfrac{(y + 2)(y^2 - 2y + 4)}{y - 3} \cdot \dfrac{(y - 3)(y + 3)}{y^2 - 2y + 4} = (y + 2)(y + 3) = y^2 + 5y + 6$ .

Ответ

y² + 5y + 6

Сложный Задача 6

Найдите значение выражения $\dfrac{x^2 - 6x + 9}{x + 1} : \dfrac{3 - x}{x^2 - 1}$ при $$x = 2{,}5$$ .

Подсказка

Сначала упростите; заметьте, что $$3 - x = -(x - 3)$$ .

Решение

$\dfrac{(x - 3)^2}{x + 1} \cdot \dfrac{(x - 1)(x + 1)}{-(x - 3)} = -(x - 3)(x - 1) = (3 - x)(x - 1)$ .

При $$x = 2{,}5$$ получаем $0{,}5 \cdot 1{,}5 = 0{,}75$ .

Ответ

0,75

Для родителя

Как объяснить за 5 минут. Возьмите мерный стакан и ложку: сколько ложек по 15 мл в 150 мл? Деление на 15 — это вопрос «сколько раз помещается». Потом покажите, что разделить на $\dfrac{1}{4}$ — это умножить на 4 (в литре четыре четверти). Отсюда правило: делить на дробь — умножать на перевёрнутую дробь. Для буквенных дробей правило то же, добавляется только разложение на множители.

Вопросы для проверки понимания: 1) Какую дробь переворачивают при делении — первую или вторую? 2) Как разделить дробь на многочлен $$x - 3$$ ? 3) Почему в $\dfrac{a}{b} : \dfrac{c}{d}$ числитель $$c$$ не может быть нулём?

На что обратить внимание. Большинство ошибок в этой теме — не в самом делении, а в разложении на множители (разность квадратов, вынесение общего множителя) и в знаках. Если ребёнку трудно, повторите сначала сокращение дробей и формулы сокращённого умножения.

Где в учебниках

Учебник	Параграф	Упражнения
Алгебра. 8 класс (Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова)	§ 6	134, 135, 136, 137, 138, 139, 140, 141, 142, 143, 144, 145, 146, 147, 148, 149