Алгебра. 8 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова · § 7

Упражнение 151 к § 7

Задача 1

Условие (кратко)

а) Выполнить действия: (x/(x + 1) + 1) · (1 + x)/(2x − 1).

Решение

Ответ

(2x + 1)/(2x − 1)

Почему так

Число $$1$$ записываем дробью $\dfrac{x+1}{x+1}$ , затем при умножении сокращаем $$x+1$$ .

Условие (кратко)

б) Выполнить действия: 5y²/(1 − y²) : (1 − 1/(1 − y)).

Решение

$1-\dfrac{1}{1-y}=\dfrac{1-y-1}{1-y}=\dfrac{-y}{1-y}$ .
$\dfrac{5y^2}{(1-y)(1+y)}:\dfrac{-y}{1-y}=\dfrac{5y^2\cdot(1-y)}{(1-y)(1+y)\cdot(-y)}=-\dfrac{5y}{1+y}$ .

Ответ

−5y/(y + 1)

Почему так

Знаменатель $$1-y^2$$ раскладываем как разность квадратов, после деления сокращаем $$y(1-y)$$ .

Условие (кратко)

в) Выполнить действия: (4a/(2 − a) − a) : (a + 2)/(a − 2).

Решение

$\dfrac{4a}{2-a}-a=\dfrac{4a-a(2-a)}{2-a}=\dfrac{a^2+2a}{2-a}=\dfrac{a(a+2)}{2-a}$ .
$\dfrac{a(a+2)}{2-a}:\dfrac{a+2}{a-2}=\dfrac{a(a+2)(a-2)}{(2-a)(a+2)}=-a$ , так как $\dfrac{a-2}{2-a}=-1$ .

Ответ

−a

Почему так

Множители $$a-2$$ и $$2-a$$ противоположны, их отношение равно $$-1$$ .

Условие (кратко)

г) Выполнить действия: (x − 2)/(x − 3) · (x + x/(2 − x)).

Решение

$x+\dfrac{x}{2-x}=\dfrac{x(2-x)+x}{2-x}=\dfrac{3x-x^2}{2-x}=\dfrac{x(3-x)}{2-x}$ .
$\dfrac{x-2}{x-3}\cdot\dfrac{x(3-x)}{2-x}=x\cdot\dfrac{x-2}{2-x}\cdot\dfrac{3-x}{x-3}=x\cdot(-1)\cdot(-1)=x$ .

Ответ

Почему так

Две пары противоположных множителей дают $(-1)\cdot(-1)=1$ , остаётся $$x$$ .