Алгебра. 8 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова · § 7

Упражнение 154 к § 7

Задача 1

Условие (кратко)

а) Выполнить действия: (a² − 25)/(a + 3) · 1/(a² + 5a) − (a + 5)/(a² − 3a).

Решение

$\dfrac{a^2-25}{a+3}\cdot\dfrac{1}{a^2+5a}=\dfrac{(a-5)(a+5)}{(a+3)\cdot a(a+5)}=\dfrac{a-5}{a(a+3)}$ .
$\dfrac{a-5}{a(a+3)}-\dfrac{a+5}{a(a-3)}=\dfrac{(a-5)(a-3)-(a+5)(a+3)}{a(a+3)(a-3)}=\dfrac{(a^2-8a+15)-(a^2+8a+15)}{a(a^2-9)}=\dfrac{-16a}{a(a^2-9)}=\dfrac{16}{9-a^2}$ .

Ответ

16/(9 − a²)

Почему так

Сначала умножение с сокращением на $$a+5$$ , затем вычитание с общим знаменателем $$a(a^2-9)$$ .

Условие (кратко)

б) Выполнить действия: (1 − 2x)/(2x + 1) + (x² + 3x)/(4x² − 1) : (3 + x)/(4x + 2).

Решение

Деление выполняется раньше сложения.

$\dfrac{x^2+3x}{4x^2-1}:\dfrac{3+x}{4x+2}=\dfrac{x(x+3)\cdot 2(2x+1)}{(2x-1)(2x+1)(x+3)}=\dfrac{2x}{2x-1}$ .
$\dfrac{1-2x}{2x+1}+\dfrac{2x}{2x-1}=\dfrac{(1-2x)(2x-1)+2x(2x+1)}{(2x+1)(2x-1)}=\dfrac{-4x^2+4x-1+4x^2+2x}{4x^2-1}=\dfrac{6x-1}{4x^2-1}$ .

Ответ

(6x − 1)/(4x² − 1)

Почему так

Порядок действий: деление раньше сложения; $$(1-2x)(2x-1)=-(2x-1)^2$$ .

Условие (кратко)

в) Выполнить действия: (b − c)/(a + b) − (ab − b²)/(a² − ac) · (a² − c²)/(a² − b²).

Решение

$\dfrac{ab-b^2}{a^2-ac}\cdot\dfrac{a^2-c^2}{a^2-b^2}=\dfrac{b(a-b)\cdot(a-c)(a+c)}{a(a-c)\cdot(a-b)(a+b)}=\dfrac{b(a+c)}{a(a+b)}$ .
$\dfrac{b-c}{a+b}-\dfrac{b(a+c)}{a(a+b)}=\dfrac{a(b-c)-b(a+c)}{a(a+b)}=\dfrac{ab-ac-ab-bc}{a(a+b)}=\dfrac{-c(a+b)}{a(a+b)}=-\dfrac{c}{a}$ .

Ответ

−c/a

Почему так

Раскладываем все многочлены на множители, сокращаем, затем приводим к общему знаменателю $$a(a+b)$$ .

Условие (кратко)

г) Выполнить действия: (a² − 4)/(x² − 9) : (a² − 2a)/(xy + 3y) + (2 − y)/(x − 3).

Решение

$\dfrac{a^2-4}{x^2-9}:\dfrac{a^2-2a}{xy+3y}=\dfrac{(a-2)(a+2)\cdot y(x+3)}{(x-3)(x+3)\cdot a(a-2)}=\dfrac{y(a+2)}{a(x-3)}$ .
$\dfrac{y(a+2)}{a(x-3)}+\dfrac{2-y}{x-3}=\dfrac{ay+2y+a(2-y)}{a(x-3)}=\dfrac{2a+2y}{a(x-3)}=\dfrac{2a+2y}{ax-3a}$ .

Ответ

(2a + 2y)/(ax − 3a)

Почему так

Деление заменяем умножением на обратную дробь, сокращаем на $$(a-2)(x+3)$$ , затем складываем.