Алгебра. 8 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова · § 7

Упражнение 155 к § 7

Задача 1

Условие (кратко)

а) Упростить: (a² + 2a + 1) · (1/(a + 1) + 1/(a² − 1) − 1/(a − 1)).

Решение

$\dfrac{1}{a+1}+\dfrac{1}{(a-1)(a+1)}-\dfrac{1}{a-1}=\dfrac{(a-1)+1-(a+1)}{(a-1)(a+1)}=\dfrac{-1}{(a-1)(a+1)}$ .
$(a+1)^2\cdot\dfrac{-1}{(a-1)(a+1)}=-\dfrac{a+1}{a-1}=\dfrac{1+a}{1-a}$ .

Ответ

(1 + a)/(1 − a)

Почему так

Общий знаменатель скобки $$a^2-1$$ ; трёхчлен $$a^2+2a+1=(a+1)^2$$ .

Условие (кратко)

б) Упростить: (1 − (9x² + 4)/(12x)) : (1/(3x) − 1/2) + 1.

Решение

$1-\dfrac{9x^2+4}{12x}=\dfrac{12x-9x^2-4}{12x}=-\dfrac{(3x-2)^2}{12x}$ .
$\dfrac{1}{3x}-\dfrac{1}{2}=\dfrac{2-3x}{6x}=-\dfrac{3x-2}{6x}$ .
$-\dfrac{(3x-2)^2}{12x}:\left(-\dfrac{3x-2}{6x}\right)=\dfrac{(3x-2)^2\cdot 6x}{12x\cdot(3x-2)}=\dfrac{3x-2}{2}$ .
$\dfrac{3x-2}{2}+1=\dfrac{3x}{2}=1{,}5x$ .

Ответ

1,5x

Почему так

В числителе первой скобки — квадрат разности со знаком «минус»: $$12x-9x^2-4=-(3x-2)^2$$ .

Условие (кратко)

в) Упростить: 1 − (2/(a − 2) − 2/(a + 2)) · (a − (3a + 2)/4).

Решение

$\dfrac{2}{a-2}-\dfrac{2}{a+2}=\dfrac{2(a+2)-2(a-2)}{(a-2)(a+2)}=\dfrac{8}{(a-2)(a+2)}$ .
$a-\dfrac{3a+2}{4}=\dfrac{4a-3a-2}{4}=\dfrac{a-2}{4}$ .
$\dfrac{8}{(a-2)(a+2)}\cdot\dfrac{a-2}{4}=\dfrac{2}{a+2}$ .
$1-\dfrac{2}{a+2}=\dfrac{a+2-2}{a+2}=\dfrac{a}{a+2}$ .

Ответ

a/(a + 2)

Почему так

Действия по порядку: две скобки, умножение, затем вычитание из 1.

Условие (кратко)

г) Упростить: (y² − 4)(3/(y + 2) − 2/(y − 2)) + 5.

Решение

$\dfrac{3}{y+2}-\dfrac{2}{y-2}=\dfrac{3(y-2)-2(y+2)}{(y+2)(y-2)}=\dfrac{y-10}{y^2-4}$ .
$(y^2-4)\cdot\dfrac{y-10}{y^2-4}=y-10$ .
$$y-10+5=y-5$$ (при $y\ne\pm2$ ).

Ответ

y − 5

Почему так

Множитель $$y^2-4$$ совпадает с общим знаменателем дробей в скобках и сокращается.