Алгебра. 8 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова · § 7

Упражнение 156 к § 7

Задача 1

Условие (кратко)

а) Выполнить действия: (1/y + 2/(x − y))(x − (x² + y²)/(x + y)).

Решение

Ответ

Почему так

Скобки после упрощения оказываются взаимно обратными дробями, их произведение равно 1.

Условие (кратко)

б) Выполнить действия: (a + b − 2ab/(a + b)) : ((a − b)/(a + b) + b/a).

Решение

$a+b-\dfrac{2ab}{a+b}=\dfrac{(a+b)^2-2ab}{a+b}=\dfrac{a^2+b^2}{a+b}$ .
$\dfrac{a-b}{a+b}+\dfrac{b}{a}=\dfrac{a^2-ab+ab+b^2}{a(a+b)}=\dfrac{a^2+b^2}{a(a+b)}$ .
$\dfrac{a^2+b^2}{a+b}:\dfrac{a^2+b^2}{a(a+b)}=\dfrac{(a^2+b^2)\cdot a(a+b)}{(a+b)(a^2+b^2)}=a$ .

Ответ

Почему так

В обеих скобках получается числитель $$a^2+b^2$$ , после деления остаётся $$a$$ .

Условие (кратко)

в) Выполнить действия: (x² − 1)(1/(x − 1) − 1/(x + 1) + 1).

Решение

$\dfrac{1}{x-1}-\dfrac{1}{x+1}+1=\dfrac{(x+1)-(x-1)+(x^2-1)}{x^2-1}=\dfrac{x^2+1}{x^2-1}$ .
$(x^2-1)\cdot\dfrac{x^2+1}{x^2-1}=x^2+1$ (при $x\ne\pm1$ ).

Ответ

x² + 1

Почему так

Общий знаменатель скобки $$x^2-1$$ сокращается с множителем перед скобкой.

Условие (кратко)

г) Выполнить действия: (m + 1 − 1/(1 − m)) : (m − m²/(m − 1)).

Решение

$m+1-\dfrac{1}{1-m}=\dfrac{(m+1)(1-m)-1}{1-m}=\dfrac{1-m^2-1}{1-m}=\dfrac{-m^2}{1-m}=\dfrac{m^2}{m-1}$ .
$m-\dfrac{m^2}{m-1}=\dfrac{m^2-m-m^2}{m-1}=-\dfrac{m}{m-1}$ .
$\dfrac{m^2}{m-1}:\left(-\dfrac{m}{m-1}\right)=-\dfrac{m^2(m-1)}{(m-1)\cdot m}=-m$ .

Ответ

−m

Почему так

Знаменатель $$1-m$$ удобно заменить на $$m-1$$ , сменив знак дроби.