Алгебра. 8 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова · § 7

Упражнение 157 к § 7

Задача 1

Условие (кратко)

а) Упростить: 4xy/(y² − x²) : (1/(y² − x²) + 1/(x² + 2xy + y²)).

Решение

$\dfrac{1}{(y-x)(y+x)}+\dfrac{1}{(x+y)^2}=\dfrac{(x+y)+(y-x)}{(y-x)(x+y)^2}=\dfrac{2y}{(y-x)(x+y)^2}$ .
$\dfrac{4xy}{(y-x)(y+x)}:\dfrac{2y}{(y-x)(x+y)^2}=\dfrac{4xy\cdot(y-x)(x+y)^2}{(y-x)(y+x)\cdot 2y}=2x(x+y)=2x^2+2xy$ .

Ответ

2x² + 2xy

Почему так

Общий знаменатель скобки $$(y-x)(x+y)^2$$ ; после деления сокращаем $$2y(y-x)(x+y)$$ .

Условие (кратко)

б) Упростить: ((x − 2y)/(x² + 2xy) − 1/(x² − 4y²) : (x + 2y)/(2y − x)²) · (x + 2y)²/(4y²).

Решение

В скобке сначала деление, потом вычитание. Учтём, что $$(2y-x)^2=(x-2y)^2$$ .

$\dfrac{1}{(x-2y)(x+2y)}:\dfrac{x+2y}{(x-2y)^2}=\dfrac{(x-2y)^2}{(x-2y)(x+2y)(x+2y)}=\dfrac{x-2y}{(x+2y)^2}$ .
$\dfrac{x-2y}{x(x+2y)}-\dfrac{x-2y}{(x+2y)^2}=\dfrac{(x-2y)\big((x+2y)-x\big)}{x(x+2y)^2}=\dfrac{2y(x-2y)}{x(x+2y)^2}$ .
$\dfrac{2y(x-2y)}{x(x+2y)^2}\cdot\dfrac{(x+2y)^2}{4y^2}=\dfrac{x-2y}{2xy}$ .

Ответ

(x − 2y)/(2xy)

Почему так

Внутри скобки деление выполняется раньше вычитания; квадраты противоположных выражений равны.