Задача 1
Условие (кратко)
При каком a выражение (0,5(a − 1)² − 18)((a + 5)/(a − 7) + (a − 7)/(a + 5)) принимает наименьшее значение? Найти это значение.
Решение
-
\(0{,}5(a-1)^2-18=0{,}5\big((a-1)^2-36\big)=0{,}5(a-1-6)(a-1+6)=0{,}5(a-7)(a+5)\).
-
\(\dfrac{a+5}{a-7}+\dfrac{a-7}{a+5}=\dfrac{(a+5)^2+(a-7)^2}{(a-7)(a+5)}\).
-
Произведение: \(0{,}5\big((a+5)^2+(a-7)^2\big)=0{,}5(a^2+10a+25+a^2-14a+49)=a^2-2a+37\).
-
\(a^2-2a+37=(a-1)^2+36\). Квадрат \((a-1)^2\ge0\) и равен нулю при \(a=1\); это значение допустимо (\(a\ne7\), \(a\ne-5\)).
Наименьшее значение выражения равно \(36\) при \(a=1\).
Ответ
При a = 1; наименьшее значение 36
Почему так
Выражение упрощается до \((a-1)^2+36\), а квадрат принимает наименьшее значение \(0\).
Подробнее — в теме «Преобразование рациональных выражений».