Алгебра. 8 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова · § 7

Упражнение 161 к § 7

Задача 1

Условие (кратко)

а) Доказать тождество (2p − q)/(pq) − 1/(p + q) · (p/q − q/p) = 1/q.

Решение

Преобразуем левую часть.

$\dfrac{p}{q}-\dfrac{q}{p}=\dfrac{p^2-q^2}{pq}=\dfrac{(p-q)(p+q)}{pq}$ .
$\dfrac{1}{p+q}\cdot\dfrac{(p-q)(p+q)}{pq}=\dfrac{p-q}{pq}$ .
$\dfrac{2p-q}{pq}-\dfrac{p-q}{pq}=\dfrac{2p-q-p+q}{pq}=\dfrac{p}{pq}=\dfrac{1}{q}$ .

Левая часть равна правой, тождество доказано.

Ответ

Тождество доказано

Почему так

Левую часть упрощаем по действиям (скобка, умножение, вычитание) и получаем правую.

Условие (кратко)

б) Доказать тождество (a + b)/(2(a − b)) − (a − b)/(2(a + b)) = b/(a − b) − (b² − ab)/(a² − b²).

Решение

Упростим каждую часть.

Левая: $\dfrac{(a+b)^2-(a-b)^2}{2(a-b)(a+b)}=\dfrac{4ab}{2(a^2-b^2)}=\dfrac{2ab}{a^2-b^2}$ .

Правая: $\dfrac{b^2-ab}{a^2-b^2}=\dfrac{-b(a-b)}{(a-b)(a+b)}=-\dfrac{b}{a+b}$ , поэтому

$\dfrac{b}{a-b}+\dfrac{b}{a+b}=\dfrac{b(a+b)+b(a-b)}{a^2-b^2}=\dfrac{2ab}{a^2-b^2}$ .

Обе части равны $\dfrac{2ab}{a^2-b^2}$ , тождество доказано.

Ответ

Тождество доказано

Почему так

Обе части приводятся к одной и той же дроби $\dfrac{2ab}{a^2-b^2}$ .