Алгебра. 8 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова · § 7

Упражнение 163 к § 7

Задача 1

Условие (кратко)

а) Доказать, что значение выражения (2ab/(a² − b²) + (a − b)/(2a + 2b)) · 2a/(a + b) + b/(b − a) не зависит от переменных.

Решение

$\dfrac{2ab}{(a-b)(a+b)}+\dfrac{a-b}{2(a+b)}=\dfrac{4ab+(a-b)^2}{2(a-b)(a+b)}=\dfrac{(a+b)^2}{2(a-b)(a+b)}=\dfrac{a+b}{2(a-b)}$ .
$\dfrac{a+b}{2(a-b)}\cdot\dfrac{2a}{a+b}=\dfrac{a}{a-b}$ .
$\dfrac{a}{a-b}+\dfrac{b}{b-a}=\dfrac{a}{a-b}-\dfrac{b}{a-b}=\dfrac{a-b}{a-b}=1$ .

При всех допустимых $$a$$ и $$b$$ ( $a\ne\pm b$ ) значение равно $$1$$ , то есть не зависит от переменных.

Ответ

Значение равно 1 при всех допустимых a и b

Почему так

$$4ab+(a-b)^2=(a+b)^2$$ — ключевой шаг, после него всё сокращается до 1.

Условие (кратко)

б) Доказать, что значение выражения y/(x − y) − (x³ − xy²)/(x² + y²) · (x/(x − y)² − y/(x² − y²)) не зависит от переменных.

Решение

$\dfrac{x}{(x-y)^2}-\dfrac{y}{(x-y)(x+y)}=\dfrac{x(x+y)-y(x-y)}{(x-y)^2(x+y)}=\dfrac{x^2+y^2}{(x-y)^2(x+y)}$ .
$\dfrac{x(x-y)(x+y)}{x^2+y^2}\cdot\dfrac{x^2+y^2}{(x-y)^2(x+y)}=\dfrac{x}{x-y}$ .
$\dfrac{y}{x-y}-\dfrac{x}{x-y}=\dfrac{y-x}{x-y}=-1$ .

При всех допустимых $$x$$ и $$y$$ значение равно $$-1$$ .

Ответ

Значение равно −1 при всех допустимых x и y

Почему так

$$x^3-xy^2=x(x-y)(x+y)$$ , после умножения остаётся $\dfrac{x}{x-y}$ , а разность равна $$-1$$ .