Задача 1
Условие (кратко)
Доказать, что при любом натуральном n значение выражения (9/n² + n/3) : (3/n² − 1/n + 1/3) — натуральное число.
Решение
-
\(\dfrac{9}{n^2}+\dfrac{n}{3}=\dfrac{27+n^3}{3n^2}\).
-
\(\dfrac{3}{n^2}-\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{3}=\dfrac{9-3n+n^2}{3n^2}\).
-
\(\dfrac{n^3+27}{3n^2}:\dfrac{n^2-3n+9}{3n^2}=\dfrac{n^3+27}{n^2-3n+9}=\dfrac{(n+3)(n^2-3n+9)}{n^2-3n+9}=n+3\).
Сумма кубов: \(n^3+27=(n+3)(n^2-3n+9)\). Множитель \(n^2-3n+9=(n-1{,}5)^2+6{,}75>0\), поэтому сокращение законно.
При натуральном \(n\) число \(n+3\) натуральное, что и требовалось доказать.
Ответ
Значение равно n + 3 — натуральное число
Почему так
Числитель — сумма кубов \(n^3+3^3\), она делится на неполный квадрат разности \(n^2-3n+9\).
Подробнее — в теме «Преобразование рациональных выражений».