§ 7. Преобразование рациональных выражений · тема: Преобразование рациональных выражений
а) Представить в виде рациональной дроби: (n + 1/n)².
\(\left(n+\dfrac{1}{n}\right)^2=n^2+2\cdot n\cdot\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{n^2}=n^2+2+\dfrac{1}{n^2}=\dfrac{n^4+2n^2+1}{n^2}\).
Квадрат суммы: удвоенное произведение \(2\cdot n\cdot\dfrac1n=2\).
Подробнее — в теме «Преобразование рациональных выражений».
б) Представить в виде рациональной дроби: (a/b − b/a)².
\(\left(\dfrac{a}{b}-\dfrac{b}{a}\right)^2=\dfrac{a^2}{b^2}-2\cdot\dfrac{a}{b}\cdot\dfrac{b}{a}+\dfrac{b^2}{a^2}=\dfrac{a^2}{b^2}-2+\dfrac{b^2}{a^2}=\dfrac{a^4-2a^2b^2+b^4}{a^2b^2}\).
Квадрат разности; удвоенное произведение \(2\cdot\dfrac ab\cdot\dfrac ba=2\).
Подробнее — в теме «Преобразование рациональных выражений».
в) Представить в виде рациональной дроби: (x/y + 1)² + (x/y − 1)².
\(\left(\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{2x}{y}+1\right)+\left(\dfrac{x^2}{y^2}-\dfrac{2x}{y}+1\right)=\dfrac{2x^2}{y^2}+2=\dfrac{2x^2+2y^2}{y^2}\).
Удвоенные произведения \(\pm\dfrac{2x}{y}\) взаимно уничтожаются.
Подробнее — в теме «Преобразование рациональных выражений».
г) Представить в виде многочлена или дроби: (p/q + q/p)² − (p/q − q/p)².
Применим формулу разности квадратов \(A^2-B^2=(A-B)(A+B)\):
\(\left(\dfrac{p}{q}+\dfrac{q}{p}-\dfrac{p}{q}+\dfrac{q}{p}\right)\left(\dfrac{p}{q}+\dfrac{q}{p}+\dfrac{p}{q}-\dfrac{q}{p}\right)=\dfrac{2q}{p}\cdot\dfrac{2p}{q}=4\).
Разность квадратов двух выражений удобнее раскладывать на множители, чем возводить каждое в квадрат.
Подробнее — в теме «Преобразование рациональных выражений».
Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Алгебра. 8 класс» (Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; Просвещение, 2024).
УрокГид — https://urokgid.ru/uchebniki/algebra-8-makarychev-mindyuk-neshkov-suvorova/p7/upr-165/