Алгебра. 8 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова · § 7

Упражнение 166 к § 7

§ 7. Преобразование рациональных выражений · тема: Преобразование рациональных выражений

Задача 1

Условие (кратко)

а) Упростить выражение (1 − 1/x)/(1 + 1/x).

Решение

Числитель и знаменатель большой дроби умножим на $$x$$ (это не меняет её значения при $x \ne 0$ ):

\dfrac{1 - \dfrac{1}{x}}{1 + \dfrac{1}{x}} = \dfrac{\left(1 - \dfrac{1}{x}\right) \cdot x}{\left(1 + \dfrac{1}{x}\right) \cdot x} = \dfrac{x - 1}{x + 1}.

Выражение имеет смысл при $x \ne 0$ и $x \ne -1$ .

Ответ

(x − 1)/(x + 1)

Почему так

Умножение числителя и знаменателя на общий знаменатель «внутренних» дробей убирает многоэтажность.

Подробнее — в теме «Преобразование рациональных выражений».

Задача 2

Условие (кратко)

б) Упростить выражение ((2a − b)/b + 1)/((2a + b)/b − 1).

Решение

Упростим числитель и знаменатель по отдельности:

\dfrac{2a - b}{b} + 1 = \dfrac{2a - b + b}{b} = \dfrac{2a}{b}, \qquad \dfrac{2a + b}{b} - 1 = \dfrac{2a + b - b}{b} = \dfrac{2a}{b}.

Числитель и знаменатель равны, поэтому

\dfrac{2a}{b} : \dfrac{2a}{b} = 1 \quad (a \ne 0,\ b \ne 0).

Ответ

Почему так

Числитель и знаменатель после приведения к общему знаменателю оказываются одинаковыми дробями.

Подробнее — в теме «Преобразование рациональных выражений».

Задача 3

Условие (кратко)

в) Упростить выражение (x/y² + y/x²)/(x/y² − y/x²).

Решение

Общий знаменатель внутренних дробей — $$x^2y^2$$ . Умножим на него числитель и знаменатель:

\dfrac{\dfrac{x}{y^2} + \dfrac{y}{x^2}}{\dfrac{x}{y^2} - \dfrac{y}{x^2}} = \dfrac{x \cdot x^2 + y \cdot y^2}{x \cdot x^2 - y \cdot y^2} = \dfrac{x^3 + y^3}{x^3 - y^3}.

Здесь $x \ne 0$ , $y \ne 0$ , $x \ne y$ .

Ответ

(x³ + y³)/(x³ − y³)

Почему так

Числитель и знаменатель умножают на общий знаменатель всех внутренних дробей.

Подробнее — в теме «Преобразование рациональных выражений».

Задача 4

Условие (кратко)

г) Упростить выражение (1/a + 1/b + 1/c)/(1/(ab) + 1/(bc) + 1/(ac)).

Решение

Общий знаменатель всех внутренних дробей — $$abc$$ . Умножим на него числитель и знаменатель:

\left(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}\right) \cdot abc = bc + ac + ab,

\left(\dfrac{1}{ab} + \dfrac{1}{bc} + \dfrac{1}{ac}\right) \cdot abc = c + a + b.

Получаем $\dfrac{ab + bc + ac}{a + b + c}$ .

Ответ

(ab + bc + ac)/(a + b + c)

Почему так

Умножение на общий знаменатель abc превращает многоэтажную дробь в отношение многочленов.

Подробнее — в теме «Преобразование рациональных выражений».

Задача 1

Задача 2

Задача 3

Задача 4

Похожие задачи для тренировки