Алгебра. 8 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова · § 7

Упражнение 168 к § 7

Задача 1

Условие (кратко)

а) Подставить x = ab/(a + b) в выражение (x − a)/(x − b) и упростить.

Решение

Найдём числитель и знаменатель отдельно:

x - a = \dfrac{ab}{a + b} - a = \dfrac{ab - a^2 - ab}{a + b} = -\dfrac{a^2}{a + b},

x - b = \dfrac{ab}{a + b} - b = \dfrac{ab - ab - b^2}{a + b} = -\dfrac{b^2}{a + b}.

Тогда

\dfrac{x - a}{x - b} = \dfrac{a^2}{a + b} : \dfrac{b^2}{a + b} = \dfrac{a^2}{b^2}.

Ответ

a²/b²

Почему так

После подстановки получается многоэтажная дробь; числитель и знаменатель упрощают отдельно, затем делят.

Условие (кратко)

б) Подставить x = (a − b)/(a + b) в выражение (a/b − x)/(b/a + x) и упростить.

Решение

Числитель:

\dfrac{a}{b} - \dfrac{a - b}{a + b} = \dfrac{a(a + b) - b(a - b)}{b(a + b)} = \dfrac{a^2 + b^2}{b(a + b)}.

Знаменатель:

\dfrac{b}{a} + \dfrac{a - b}{a + b} = \dfrac{b(a + b) + a(a - b)}{a(a + b)} = \dfrac{a^2 + b^2}{a(a + b)}.

Делим:

\dfrac{a^2 + b^2}{b(a + b)} \cdot \dfrac{a(a + b)}{a^2 + b^2} = \dfrac{a}{b}.

Ответ

a/b

Почему так

Числитель и знаменатель приводят к дробям с одинаковым множителем a² + b², который сокращается.