Алгебра. 8 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова · § 7

Упражнение 169 к § 7

Задача 1

Условие (кратко)

а) Подставить a = 1/(1 − x), b = 1/(1 + x) в выражение (a + b)/(a − b) и упростить.

Решение

a + b = \dfrac{1}{1 - x} + \dfrac{1}{1 + x} = \dfrac{1 + x + 1 - x}{1 - x^2} = \dfrac{2}{1 - x^2},

a - b = \dfrac{1}{1 - x} - \dfrac{1}{1 + x} = \dfrac{1 + x - 1 + x}{1 - x^2} = \dfrac{2x}{1 - x^2}.

\dfrac{a + b}{a - b} = \dfrac{2}{1 - x^2} \cdot \dfrac{1 - x^2}{2x} = \dfrac{1}{x}.

Ответ

1/x

Почему так

Сумму и разность дробей приводят к общему знаменателю 1 − x², он сокращается при делении.

Условие (кратко)

б) Подставить x = ab/(a − b) в выражение ax/(a + x) − bx/(b − x) и упростить.

Решение

Найдём каждую дробь отдельно.

a + x = a + \dfrac{ab}{a - b} = \dfrac{a^2 - ab + ab}{a - b} = \dfrac{a^2}{a - b}, \qquad ax = \dfrac{a^2b}{a - b},

поэтому $\dfrac{ax}{a + x} = \dfrac{a^2b}{a - b} \cdot \dfrac{a - b}{a^2} = b$ .

b - x = b - \dfrac{ab}{a - b} = \dfrac{ab - b^2 - ab}{a - b} = -\dfrac{b^2}{a - b}, \qquad bx = \dfrac{ab^2}{a - b},

поэтому $\dfrac{bx}{b - x} = \dfrac{ab^2}{a - b} \cdot \left(-\dfrac{a - b}{b^2}\right) = -a$ .

Итак, $$b - (-a) = a + b$$ .

Ответ

a + b

Почему так

Каждую дробь после подстановки упрощают отдельно — получаются b и −a.