Задача 1
Условие (кратко)
Автобус ехал из A в B со скоростью 90 км/ч, обратно — 60 км/ч. Найти среднюю скорость на всём пути.
Решение
Дано
- \(v_1 = 90\) км/ч
- \(v_2 = 60\) км/ч
- путь туда и обратно одинаков
Найти
- \(v_{\text{ср}}\)
Пусть расстояние \(AB = s\) км. Время туда \(\dfrac{s}{90}\) ч, обратно \(\dfrac{s}{60}\) ч, весь путь \(2s\) км:
\[v_{\text{ср}} = \dfrac{2s}{\dfrac{s}{90} + \dfrac{s}{60}} = \dfrac{2}{\dfrac{1}{90} + \dfrac{1}{60}} = \dfrac{2}{\dfrac{5}{180}} = 72 \text{ км/ч}.\]
Это среднее гармоническое скоростей, а не среднее арифметическое (75 км/ч).
Ответ
72 км/ч
Почему так
При равных участках пути средняя скорость равна среднему гармоническому скоростей.
Подробнее — в теме «Преобразование рациональных выражений».