Задача 1
Условие (кратко)
При каких a и b равенство 6x/((x − 1)(x − 2)) = a/(x − 1) + b/(x − 2) является тождеством?
Решение
Сложим дроби в правой части:
\[\dfrac{a}{x-1} + \dfrac{b}{x-2} = \dfrac{a(x-2) + b(x-1)}{(x-1)(x-2)} = \dfrac{(a+b)x - (2a+b)}{(x-1)(x-2)}.\]
Знаменатели слева и справа одинаковые, поэтому равенство будет тождеством, если совпадут числители: \((a+b)x - (2a+b) = 6x\). Приравняем коэффициенты при \(x\) и свободные члены:
\[\begin{cases} a + b = 6, \\ 2a + b = 0. \end{cases}\]
Вычтем из второго уравнения первое: \(a = -6\). Тогда \(b = 6 - a = 12\).
Проверка: \(\dfrac{-6}{x-1} + \dfrac{12}{x-2} = \dfrac{-6x + 12 + 12x - 12}{(x-1)(x-2)} = \dfrac{6x}{(x-1)(x-2)}\).
Ответ
a = −6; b = 12
Почему так
Метод неопределённых коэффициентов — числители равны, если равны коэффициенты при одинаковых степенях x.
Подробнее — в теме «Представление дроби в виде суммы дробей».