Задача 1
Условие (кратко)
Представить дробь (5x − 1)/((x + 4)(x − 2)) в виде суммы двух дробей со знаменателями x + 4 и x − 2.
Решение
Пусть \(\dfrac{5x-1}{(x+4)(x-2)} = \dfrac{a}{x+4} + \dfrac{b}{x-2}\). Сложим дроби справа:
\[\dfrac{a(x-2) + b(x+4)}{(x+4)(x-2)} = \dfrac{(a+b)x + (4b - 2a)}{(x+4)(x-2)}.\]
Числители должны совпадать при всех \(x\):
\[\begin{cases} a + b = 5, \\ 4b - 2a = -1. \end{cases}\]
Из первого уравнения \(a = 5 - b\). Подставим: \(4b - 10 + 2b = -1\), \(6b = 9\), \(b = \dfrac{3}{2}\), \(a = 5 - \dfrac{3}{2} = \dfrac{7}{2}\).
\[\dfrac{5x-1}{(x+4)(x-2)} = \dfrac{7}{2(x+4)} + \dfrac{3}{2(x-2)}.\]
Проверка: \(\dfrac{7(x-2) + 3(x+4)}{2(x+4)(x-2)} = \dfrac{10x - 2}{2(x+4)(x-2)} = \dfrac{5x-1}{(x+4)(x-2)}\).
Ответ
7/(2(x + 4)) + 3/(2(x − 2))
Почему так
Метод неопределённых коэффициентов — неизвестные числители находят из системы уравнений.
Подробнее — в теме «Представление дроби в виде суммы дробей».