Задача 1
Условие (кратко)
Представить дробь (4x + 3)/(x² − 1) в виде суммы двух дробей со знаменателями x − 1 и x + 1.
Решение
Так как \(x^2 - 1 = (x-1)(x+1)\), ищем \(a\) и \(b\), при которых \(\dfrac{4x+3}{x^2-1} = \dfrac{a}{x-1} + \dfrac{b}{x+1}\).
\[\dfrac{a}{x-1} + \dfrac{b}{x+1} = \dfrac{a(x+1) + b(x-1)}{x^2-1} = \dfrac{(a+b)x + (a-b)}{x^2-1}.\]
\[\begin{cases} a + b = 4, \\ a - b = 3. \end{cases}\]
Сложив уравнения, получим \(2a = 7\), \(a = \dfrac{7}{2}\); тогда \(b = 4 - \dfrac{7}{2} = \dfrac{1}{2}\).
\[\dfrac{4x+3}{x^2-1} = \dfrac{7}{2(x-1)} + \dfrac{1}{2(x+1)}.\]
Ответ
7/(2(x − 1)) + 1/(2(x + 1))
Почему так
Знаменатель раскладывают на множители, а числители слагаемых находят методом неопределённых коэффициентов.
Подробнее — в теме «Представление дроби в виде суммы дробей».