Задача 1
Условие (кратко)
Выяснить, при каких целых a дробь (a² − 4a + 1)/(a − 2) принимает целые значения, и найти эти значения.
Решение
Выделим в числителе квадрат разности: \(a^2 - 4a + 1 = (a-2)^2 - 3\). Тогда при \(a \ne 2\)
\[\dfrac{a^2 - 4a + 1}{a-2} = \dfrac{(a-2)^2 - 3}{a-2} = a - 2 - \dfrac{3}{a-2}.\]
При целом \(a\) выражение \(a - 2\) целое, поэтому дробь целая тогда и только тогда, когда целое \(\dfrac{3}{a-2}\), то есть \(a - 2\) — делитель числа 3: \(a - 2 \in \{-3;\ -1;\ 1;\ 3\}\).
- \(a - 2 = -3\), \(a = -1\): значение \(-3 + 1 = -2\);
- \(a - 2 = -1\), \(a = 1\): значение \(-1 + 3 = 2\);
- \(a - 2 = 1\), \(a = 3\): значение \(1 - 3 = -2\);
- \(a - 2 = 3\), \(a = 5\): значение \(3 - 1 = 2\).
Ответ
При a = −1; 1; 3; 5; значения дроби −2 и 2
Почему так
Дробь представляют в виде суммы целого выражения и дроби с числом в числителе, затем перебирают делители этого числа.
Подробнее — в теме «Представление дроби в виде суммы дробей».