Алгебра. 8 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова · § 9

Упражнение 205 к § 9

Задача 1

Условие (кратко)

а) (Для работы в парах.) m — целое число. Найти целые значения дроби (m² − 6m + 10)/(m − 3).

Решение

Выделим целую часть: $$m^2 - 6m + 10 = (m-3)^2 + 1$$ , поэтому

\dfrac{m^2 - 6m + 10}{m-3} = m - 3 + \dfrac{1}{m-3}.

Число $$m - 3$$ целое, значит, дробь целая только тогда, когда $\dfrac{1}{m-3}$ — целое число, то есть $$m - 3 = 1$$ или $$m - 3 = -1$$ .

Ответ

−2; 2

Почему так

Выделение целой части сводит задачу к поиску делителей числа 1.

Условие (кратко)

б) (Для работы в парах.) m — целое число. Найти целые значения дроби (m − 4)²/(m − 2).

Решение

Запишем $$m - 4 = (m-2) - 2$$ , тогда $$(m-4)^2 = (m-2)^2 - 4(m-2) + 4$$ и

\dfrac{(m-4)^2}{m-2} = m - 2 - 4 + \dfrac{4}{m-2} = m - 6 + \dfrac{4}{m-2}.

Дробь целая, когда $$m - 2$$ — делитель числа 4: $m - 2 \in \{-4;\ -2;\ -1;\ 1;\ 2;\ 4\}$ .

Различные целые значения дроби: $$-9$$ , $$-8$$ , $$0$$ , $$1$$ .

Ответ

−9; −8; 0; 1

Почему так

Числитель записывают через m − 2, выделяют целую часть и перебирают делители остатка 4.