Задача 1
Условие (кратко)
а) Найти все пары целых чисел, удовлетворяющие уравнению 5x + y − xy = 2.
Решение
Выразим \(y\): \(y - xy = 2 - 5x\), \(y(1 - x) = 2 - 5x\). При \(x = 1\) получаем \(0 = -3\) — решений нет, значит, \(x \ne 1\) и
\[y = \dfrac{2 - 5x}{1 - x} = \dfrac{5x - 2}{x - 1} = \dfrac{5(x-1) + 3}{x-1} = 5 + \dfrac{3}{x-1}.\]
\(y\) целое, когда \(x - 1\) — делитель числа 3: \(x - 1 \in \{-3;\ -1;\ 1;\ 3\}\).
- \(x - 1 = -3\), тогда \(x = -2\), \(y = 5 - 1 = 4\);
- \(x - 1 = -1\), тогда \(x = 0\), \(y = 5 - 3 = 2\);
- \(x - 1 = 1\), тогда \(x = 2\), \(y = 5 + 3 = 8\);
- \(x - 1 = 3\), тогда \(x = 4\), \(y = 5 + 1 = 6\).
Ответ
(−2; 4), (0; 2), (2; 8), (4; 6)
Почему так
Одну переменную выражают через другую и выделяют целую часть получившейся дроби.
Подробнее — в теме «Представление дроби в виде суммы дробей».