Алгебра. 8 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова · § 9

Упражнение 207 к § 9

Задача 1

Условие (кратко)

Найти все точки графика функции y = (x² − 6x + 1)/(x − 3) с целочисленными координатами.

Решение

Область определения: $x \ne 3$ . Выделим целую часть: $$x^2 - 6x + 1 = (x-3)^2 - 8$$ , поэтому

y = x - 3 - \dfrac{8}{x-3}.

При целом $$x$$ значение $$y$$ целое, когда $$x - 3$$ — делитель числа 8: $x - 3 \in \{\pm 1;\ \pm 2;\ \pm 4;\ \pm 8\}$ .

$$x - 3 = 1$$ , тогда $$x = 4$$ , $$y = 1 - 8 = -7$$ ; $$x - 3 = -1$$ , тогда $$x = 2$$ , $$y = -1 + 8 = 7$$ ;
$$x - 3 = 2$$ , тогда $$x = 5$$ , $$y = 2 - 4 = -2$$ ; $$x - 3 = -2$$ , тогда $$x = 1$$ , $$y = -2 + 4 = 2$$ ;
$$x - 3 = 4$$ , тогда $$x = 7$$ , $$y = 4 - 2 = 2$$ ; $$x - 3 = -4$$ , тогда $$x = -1$$ , $$y = -4 + 2 = -2$$ ;
$$x - 3 = 8$$ , тогда $$x = 11$$ , $$y = 8 - 1 = 7$$ ; $$x - 3 = -8$$ , тогда $$x = -5$$ , $$y = -8 + 1 = -7$$ .

Ответ

(4; −7), (2; 7), (5; −2), (1; 2), (7; 2), (−1; −2), (11; 7), (−5; −7)

Почему так

Точка с целыми координатами — целое x, при котором дробь принимает целое значение; ищем через выделение целой части.