Задача 1
Условие (кратко)
Доказать, что при любом целом a, отличном от нуля, значение дроби (5a² + 6)/(a² + 1) не является целым числом.
Решение
Выделим целую часть:
\[\dfrac{5a^2 + 6}{a^2 + 1} = \dfrac{5(a^2 + 1) + 1}{a^2 + 1} = 5 + \dfrac{1}{a^2 + 1}.\]
Если \(a\) — целое и \(a \ne 0\), то \(a^2 \ge 1\), значит, \(a^2 + 1 \ge 2\) и
\[0 < \dfrac{1}{a^2 + 1} \le \dfrac{1}{2}.\]
Поэтому значение дроби лежит строго между 5 и 6: \(5 < 5 + \dfrac{1}{a^2+1} \le 5{,}5\). Целых чисел между 5 и 6 нет, значит, дробь не принимает целых значений.
Ответ
Дробь равна 5 + 1/(a² + 1), и при a ≠ 0 её значение лежит строго между 5 и 6, поэтому целым оно не бывает
Почему так
После выделения целой части остаётся дробь, которая при a ≠ 0 больше нуля, но меньше единицы.
Подробнее — в теме «Представление дроби в виде суммы дробей».