Задача 1
Условие (кратко)
Найти все пары натуральных чисел a и b, если сумма обратных им чисел равна 1/7.
Решение
Дано
- \(a, b\) — натуральные
- \(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} = \dfrac{1}{7}\)
Найти
- \(a\) и \(b\)
Каждое слагаемое меньше суммы, поэтому \(\dfrac{1}{a} < \dfrac{1}{7}\) и \(\dfrac{1}{b} < \dfrac{1}{7}\), то есть \(a > 7\) и \(b > 7\).
Выразим \(b\): \(\dfrac{1}{b} = \dfrac{1}{7} - \dfrac{1}{a} = \dfrac{a - 7}{7a}\), откуда
\[b = \dfrac{7a}{a - 7} = \dfrac{7(a - 7) + 49}{a - 7} = 7 + \dfrac{49}{a - 7}.\]
Так как \(a - 7\) — натуральное число, \(b\) натуральное, когда \(a - 7\) — делитель 49: \(a - 7 \in \{1;\ 7;\ 49\}\).
- \(a - 7 = 1\), тогда \(a = 8\), \(b = 7 + 49 = 56\);
- \(a - 7 = 7\), тогда \(a = 14\), \(b = 7 + 7 = 14\);
- \(a - 7 = 49\), тогда \(a = 56\), \(b = 7 + 1 = 8\).
Проверка: \(\dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{56} = \dfrac{7 + 1}{56} = \dfrac{1}{7}\).
Ответ
a = 8, b = 56; a = 14, b = 14; a = 56, b = 8
Почему так
Одну переменную выражают через другую и выделяют целую часть, после чего перебирают делители числа 49.
Подробнее — в теме «Представление дроби в виде суммы дробей».