Алгебра. 9 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова

Задание 81

Дополнительные упражнения к главе I

Задача 1

Условие (кратко)

а) Сколько целых чисел расположено между −5√6 и √83?

Решение

Внесём множитель под корень: $-5\sqrt{6} = -\sqrt{150}$ .

$$144 < 150 < 169$$ , значит $12 < \sqrt{150} < 13$ и $-13 < -5\sqrt{6} < -12$ .

$$81 < 83 < 100$$ , значит $9 < \sqrt{83} < 10$ .

Между числами лежат целые числа от $$-12$$ до $$9$$ : их $$9 - (-12) + 1 = 22$$ .

Ответ

Почему так

Чтобы оценить $k\sqrt{n}$ , вносим множитель под корень и зажимаем подкоренное число между соседними точными квадратами.

Подробнее — в теме «Сравнение действительных чисел».

Задача 2

Условие (кратко)

б) Сколько целых чисел расположено между 3√3 и 4√11?

Решение

$3\sqrt{3} = \sqrt{27}$ , и $$25 < 27 < 36$$ , поэтому $5 < 3\sqrt{3} < 6$ .

$4\sqrt{11} = \sqrt{176}$ , и $$169 < 176 < 196$$ , поэтому $13 < 4\sqrt{11} < 14$ .

Целые числа между ними: 6, 7, …, 13 — всего $$13 - 6 + 1 = 8$$ .

Ответ

Почему так

Число $k\sqrt{n}$ равно $\sqrt{k^2 n}$ , а корень оцениваем соседними точными квадратами.

Подробнее — в теме «Сравнение действительных чисел».

Задача 3

Условие (кратко)

в) Сколько целых чисел расположено между −5√6 и −(1/2)√68?

Решение

$-5\sqrt{6} = -\sqrt{150}$ , и $-13 < -\sqrt{150} < -12$ .

$-\dfrac{1}{2}\sqrt{68} = -\sqrt{\dfrac{68}{4}} = -\sqrt{17}$ , и $$16 < 17 < 25$$ , поэтому $-5 < -\sqrt{17} < -4$ .

Целые числа между ними: −12, −11, …, −5 — всего $$-5 - (-12) + 1 = 8$$ .

Ответ

Почему так

Дробный множитель тоже вносят под корень, возводя его в квадрат: $\frac{1}{2}\sqrt{68} = \sqrt{\frac{68}{4}}$ .

Подробнее — в теме «Сравнение действительных чисел».

Задача 4

Условие (кратко)

г) Сколько целых чисел расположено между −(2/3)√54 и (6/7)√147?

Решение

$-\dfrac{2}{3}\sqrt{54} = -\sqrt{\dfrac{4 \cdot 54}{9}} = -\sqrt{24}$ , и $$16 < 24 < 25$$ , поэтому $-5 < -\sqrt{24} < -4$ .

$\dfrac{6}{7}\sqrt{147} = \sqrt{\dfrac{36 \cdot 147}{49}} = \sqrt{108}$ , и $$100 < 108 < 121$$ , поэтому $10 < \sqrt{108} < 11$ .

Целые числа между ними: от $$-4$$ до $$10$$ — всего $$10 - (-4) + 1 = 15$$ .

Ответ

Почему так

После внесения множителей под корень оба числа оцениваются соседними точными квадратами.

Подробнее — в теме «Сравнение действительных чисел».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Алгебра. 9 класс» (Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; под ред. С. А. Теляковского; Просвещение, 2023).

Нашли ошибку?

УрокГид — https://urokgid.ru/uchebniki/algebra-9-makarychev-mindyuk-neshkov-suvorova/dopolnitelnye-uprazhneniya-k-glave-1/upr-81/