Что нужно знать до
Если что-то из этого забылось, начни оттуда — так будет понятнее.
Коротко о главном
Из двух действительных чисел больше то, которое на координатной прямой лежит правее. Общий способ сравнения — записать оба числа бесконечными десятичными дробями и найти первый разряд, в котором цифры различаются.
Подробное объяснение
Что больше: \(\dfrac{7}{12}\) или \(0{,}58\)? А \(\sqrt{7}\) или \(2{,}(64)\)? На первый взгляд — разные «породы» чисел, и непонятно, с какой стороны к ним подойти. На деле всё сводится к одному вопросу: какое число на координатной прямой правее.
Частные правила
Вы уже знаете несколько способов, каждый — для своего вида чисел.
- Обыкновенные дроби приводят к общему знаменателю и сравнивают числители. \(\dfrac{3}{8}\) и \(\dfrac{2}{5}\): \(\dfrac{15}{40} < \dfrac{16}{40}\).
- Обыкновенную и десятичную дробь переводят в одну форму. Если обыкновенная дробь не переводится в конечную десятичную, удобнее записать десятичную обыкновенной.
- Числа разных знаков. Любое отрицательное число меньше нуля и меньше любого положительного.
- Два отрицательных числа. Больше то, у которого модуль меньше: \(-1{,}2 > -1{,}5\), ведь \(1{,}2 < 1{,}5\). На прямой \(-1{,}2\) ближе к нулю, значит, правее.
- Квадратные корни. Чем больше подкоренное число, тем больше корень. Чтобы сравнить \(6\) и \(\sqrt{35}\), запишем \(6 = \sqrt{36}\); \(36 > 35\), значит, \(6 > \sqrt{35}\). Множитель перед корнем вносят под корень: \(2\sqrt{3} = \sqrt{12}\).
Общий способ: десятичная запись
Любое действительное число можно записать бесконечной десятичной дробью. У рационального числа она периодическая: \(\dfrac{1}{3} = 0{,}333\ldots = 0{,}(3)\), \(0{,}25 = 0{,}25000\ldots = 0{,}25(0)\). У иррационального — непериодическая: \(\sqrt{2} = 1{,}4142\ldots\), \(\pi = 3{,}1415\ldots\)
Два положительных числа сравнивают так же, как слова в словаре: идём по разрядам слева направо — целая часть, десятые, сотые… Как только цифры разошлись, больше то число, у которого цифра больше. Что стоит дальше, уже не важно.
Периодическую дробь перед сравнением «разворачивают» — выписывают период несколько раз: \(2{,}(64) = 2{,}646464\ldots\), \(2{,}6(4) = 2{,}6444\ldots\) Тогда видно, что в тысячных \(6 > 4\) и \(2{,}(64) > 2{,}6(4)\).
Одна тонкость: дробь с периодом 9 равна дроби, у которой предыдущая цифра больше на 1, а дальше нули. Например, \(0{,}(9) = 1\), \(2{,}4(9) = 2{,}5\). Это не две разные точки, а одно число в двух записях.
Как решать задачи
- Посмотрите на знаки. Если они разные, ответ готов: отрицательное меньше.
- Если оба числа отрицательные, сравните их модули и поменяйте знак неравенства на противоположный.
- Если есть корни, внесите множители под корень или возведите положительные числа в квадрат и сравните квадраты.
- Если виды записи разные (обыкновенная дробь, периодическая, корень), переведите числа в десятичные дроби с запасом в 2–3 знака.
- Сравните по разрядам и найдите первую различающуюся цифру.
- Чтобы расположить несколько чисел по порядку, сначала разделите их на отрицательные и положительные, потом упорядочьте каждую группу.
Разобранные примеры
Обыкновенная дробь и десятичная
Сравните числа \(\dfrac{7}{12}\) и \(0{,}58\).
Разделим 7 на 12 уголком: \(\dfrac{7}{12} = 0{,}58333\ldots = 0{,}58(3)\). Запишем \(0{,}58\) как \(0{,}58000\ldots\) Десятые и сотые совпадают, в разряде тысячных \(3 > 0\). Значит, \(\dfrac{7}{12} > 0{,}58\).
Отрицательные числа с корнями
Сравните числа \(-2\sqrt{5}\) и \(-3\sqrt{2}\).
Оба числа отрицательные — сравним модули. Внесём множители под корень: \(2\sqrt{5} = \sqrt{20}\), \(3\sqrt{2} = \sqrt{18}\). Так как \(20 > 18\), то \(2\sqrt{5} > 3\sqrt{2}\).
У отрицательных больше то, у которого модуль меньше, поэтому \(-2\sqrt{5} < -3\sqrt{2}\).
Четыре числа по возрастанию
Расположите в порядке возрастания числа \(\sqrt{7}\); \(2{,}(64)\); \(2{,}645\); \(\dfrac{8}{3}\).
Запишем каждое число с четырьмя знаками после запятой:
- \(\sqrt{7} = 2{,}6457\ldots\) (проверка: \(2{,}645^2 = 6{,}996\ldots < 7\), \(2{,}646^2 = 7{,}001\ldots > 7\));
- \(2{,}(64) = 2{,}6464\ldots\);
- \(2{,}645 = 2{,}6450\);
- \(\dfrac{8}{3} = 2{,}6666\ldots\)
Единицы, десятые у всех совпадают. В сотых у \(\dfrac{8}{3}\) цифра 6, у остальных 4 — значит, \(\dfrac{8}{3}\) самое большое. У оставшихся трёх в тысячных: 5, 6, 5 — наибольшее \(2{,}(64)\). Сравним \(2{,}6457\ldots\) и \(2{,}6450\): в десятитысячных \(7 > 0\), поэтому \(\sqrt{7} > 2{,}645\).
Типичные ошибки
Ученик видит \(-3{,}25\) и \(-2{,}35\), замечает, что \(3{,}25 > 2{,}35\), и пишет \(-3{,}25 > -2{,}35\). Но на координатной прямой \(-3{,}25\) лежит левее — дальше от нуля в отрицательную сторону. Это как температура: \(-25°\) холоднее, чем \(-2°\).
Сравните модули и переверните знак: \(3{,}25 > 2{,}35\), значит, \(-3{,}25 < -2{,}35\).
\(0{,}(27)\) и \(0{,}2(72)\) выглядят по-разному, и кажется, что одно число больше. А \(0{,}1(0)\) и \(0{,}0(9)\) — будто первое явно больше, ведь у него 1 в десятых. На самом деле запись в скобках скрывает цифры, и сравнивать нужно развёрнутые дроби.
Выпишите период несколько раз: \(0{,}(27) = 0{,}272727\ldots\), \(0{,}2(72) = 0{,}272727\ldots\) — числа равны. И помните, что \(0{,}0(9) = 0{,}1\).
В паре \(3\sqrt{5}\) и \(5\sqrt{3}\) решают, что второе больше, «потому что 5 > 3», и не смотрят на корни. В другой паре \(2\sqrt{10}\) и \(3\sqrt{4}\) этот приём уже даёт неверный ответ: \(3\sqrt{4} = 6\), а \(2\sqrt{10} = \sqrt{40} > 6\).
Внесите множители под корень и сравните подкоренные числа: \(3\sqrt{5} = \sqrt{45}\), \(5\sqrt{3} = \sqrt{75}\), значит, \(3\sqrt{5} < 5\sqrt{3}\).
Проверь себя
Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.
-
Какое из чисел больше, \(-0{,}5\) или \(-0{,}45\)?
Показать ответ
Ответ: Б) −0,45
Модуль \(0{,}45 < 0{,}5\), а из двух отрицательных больше то, у которого модуль меньше.
-
Какие равенства верны?
Правильных ответов несколько.
Показать ответ
Ответ: А) 0,(9) = 1; Б) 0,5(0) = 0,5; Г) 1,2(0) = 1,1(9)
Дробь с периодом 9 равна дроби с увеличенной на 1 предыдущей цифрой, а \(0{,}(3) = \dfrac{1}{3} > 0{,}3\).
-
Сколько целых чисел расположено между \(-2{,}7\) и \(1{,}4\)?
Показать ответ
Ответ: 4
Это числа \(-2, -1, 0, 1\).
-
Как удобнее всего сравнить \(3\sqrt{2}\) и \(2\sqrt{3}\)?
Показать ответ
Ответ: Б) Внести множители под корень и сравнить √18 и √12
\(3\sqrt{2} = \sqrt{18}\), \(2\sqrt{3} = \sqrt{12}\); больше тот корень, у которого больше подкоренное число, поэтому \(3\sqrt{2} > 2\sqrt{3}\).
-
Найдите наименьшее натуральное \(n\), при котором \(\sqrt{n} > 6{,}5\).
Показать ответ
Ответ: 43
\(\sqrt{n} > 6{,}5\) означает \(n > 6{,}5^2 = 42{,}25\), наименьшее натуральное такое \(n\) — 43.
Результат:
Задачи для тренировки
От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.
Сравните числа \(-3{,}7\) и \(-3{,}07\).
Подсказка
Оба числа отрицательные — сравните их модули.
Решение
Модули \(3{,}7 = 3{,}70\) и \(3{,}07\); в разряде десятых \(7 > 0\), значит, \(|-3{,}7| > |-3{,}07|\). Из двух отрицательных больше то, у которого модуль меньше, поэтому \(-3{,}7 < -3{,}07\).
Ответ
Расположите в порядке возрастания числа \(0{,}6\); \(\dfrac{5}{8}\); \(0{,}(6)\); \(0{,}61\).
Подсказка
Запишите все числа десятичными дробями с тремя-четырьмя знаками после запятой.
Решение
\(0{,}6 = 0{,}600\); \(\dfrac{5}{8} = 0{,}625\); \(0{,}(6) = 0{,}666\ldots\); \(0{,}61 = 0{,}610\). Сравниваем по разрядам, получаем \(0{,}600 < 0{,}610 < 0{,}625 < 0{,}666\ldots\)
Ответ
Сравните числа \(2\sqrt{7}\) и \(3\sqrt{3}\).
Подсказка
Внесите множитель под знак корня.
Решение
\(2\sqrt{7} = \sqrt{4 \cdot 7} = \sqrt{28}\), \(3\sqrt{3} = \sqrt{9 \cdot 3} = \sqrt{27}\). Так как \(28 > 27\), то \(\sqrt{28} > \sqrt{27}\), то есть \(2\sqrt{7} > 3\sqrt{3}\).
Ответ
Сколько целых чисел расположено между числами \(-\sqrt{30}\) и \(\sqrt{12}\)?
Подсказка
Найдите, между какими целыми числами лежит каждый корень.
Решение
\(25 < 30 < 36\), поэтому \(5 < \sqrt{30} < 6\) и \(-6 < -\sqrt{30} < -5\). \(9 < 12 < 16\), поэтому \(3 < \sqrt{12} < 4\). Между числами лежат целые от \(-5\) до \(3\) — это \(-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3\), всего 9 чисел.
Ответ
Сравните числа \(0{,}3(18)\) и \(0{,}31(8)\).
Подсказка
Выпишите у каждой дроби по шесть знаков после запятой.
Решение
\(0{,}3(18) = 0{,}318181\ldots\), \(0{,}31(8) = 0{,}318888\ldots\) Десятые, сотые и тысячные совпадают, в разряде десятитысячных \(1 < 8\). Значит, \(0{,}3(18) < 0{,}31(8)\).
Ответ
Сколько существует натуральных чисел \(n\), для которых \(4 < \sqrt{n} < 5{,}5\)?
Подсказка
Все части неравенства положительны, их можно возвести в квадрат.
Решение
При возведении в квадрат положительных чисел знак неравенства сохраняется, поэтому \(16 < n < 30{,}25\). Подходят \(n = 17, 18, \ldots, 30\) — это \(30 - 17 + 1 = 14\) чисел.
Ответ
Для родителя
Как объяснить за 5 минут. Нарисуйте на листе прямую с нулём посередине и попросите ребёнка поставить на ней \(-2\), \(-0{,}5\), \(1{,}5\) и \(\sqrt{2} \approx 1{,}41\). Правило одно: правее — больше. Потом возьмите две бумажки с записями \(0{,}(3)\) и \(0{,}33\), распишите обе на 6 знаков и найдите первую несовпадающую цифру. Хорошая бытовая опора для отрицательных чисел — термометр: при \(-15°\) холоднее, чем при \(-5°\).
Вопросы для проверки понимания: 1) Что больше, \(-0{,}8\) или \(-0{,}79\), и почему? 2) Как сравнить \(4\) и \(\sqrt{15}\) без калькулятора? 3) Чем отличается \(0{,}(12)\) от \(0{,}12\)?
На что обратить внимание. Главная ловушка — отрицательные числа: многие механически сравнивают цифры. Вторая — периодические дроби: просите всегда «разворачивать» период. Если ребёнок путается в корнях, повторите, как вносить множитель под знак корня (\(a\sqrt{b} = \sqrt{a^2 b}\) при \(a \ge 0\)).