Алгебра. 9 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова

Задание 82

Дополнительные упражнения к главе I

Задача 1

Условие (кратко)

а) Рациональным или иррациональным числом является значение выражения √72/√50?

Решение

$\dfrac{\sqrt{72}}{\sqrt{50}} = \sqrt{\dfrac{72}{50}} = \sqrt{\dfrac{36}{25}} = \dfrac{6}{5} = 1{,}2$ .

Ответ

Рациональное число (6/5)

Почему так

Частное корней равно корню из частного; $\frac{36}{25}$ — квадрат рационального числа.

Подробнее — в теме «Действия над действительными числами».

Задача 2

Условие (кратко)

б) Рациональным или иррациональным числом является значение выражения (√24 − √54) · √12?

Решение

$\sqrt{24} = 2\sqrt{6}$ , $\sqrt{54} = 3\sqrt{6}$ , $\sqrt{12} = 2\sqrt{3}$ .

$(2\sqrt{6} - 3\sqrt{6}) \cdot 2\sqrt{3} = -\sqrt{6} \cdot 2\sqrt{3} = -2\sqrt{18} = -6\sqrt{2}$ .

$\sqrt{2}$ иррационально, значит, и $-6\sqrt{2}$ иррационально.

Ответ

Иррациональное число (−6√2)

Почему так

Произведение ненулевого рационального числа на иррациональное — иррациональное число.

Подробнее — в теме «Действия над действительными числами».

Задача 3

Условие (кратко)

в) Рациональным или иррациональным числом является значение выражения (3 − √5)² + (3 + √5)²?

Решение

$(3 - \sqrt{5})^2 = 9 - 6\sqrt{5} + 5$ , $(3 + \sqrt{5})^2 = 9 + 6\sqrt{5} + 5$ .

Сумма: $14 - 6\sqrt{5} + 14 + 6\sqrt{5} = 28$ .

Ответ

Рациональное число (28)

Почему так

Удвоенные произведения $\mp 6\sqrt{5}$ в двух квадратах взаимно уничтожаются.

Подробнее — в теме «Действия над действительными числами».

Задача 4

Условие (кратко)

г) Рациональным или иррациональным числом является значение выражения (√13 + √8)²?

Решение

$(\sqrt{13} + \sqrt{8})^2 = 13 + 2\sqrt{104} + 8 = 21 + 2\sqrt{4 \cdot 26} = 21 + 4\sqrt{26}$ .

26 не является квадратом натурального числа, поэтому $\sqrt{26}$ иррационально, а с ним и $21 + 4\sqrt{26}$ .

Ответ

Иррациональное число (21 + 4√26)

Почему так

Сумма рационального и иррационального чисел — иррациональное число.

Подробнее — в теме «Действия над действительными числами».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Алгебра. 9 класс» (Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; под ред. С. А. Теляковского; Просвещение, 2023).

Нашли ошибку?

УрокГид — https://urokgid.ru/uchebniki/algebra-9-makarychev-mindyuk-neshkov-suvorova/dopolnitelnye-uprazhneniya-k-glave-1/upr-82/