Какие равенства верны для любых действительных чисел a, b, c?

Равенство a + b = b + a

Равенство a(b + c) = ab + ac

Равенство a − b = b − a

Действия над действительными числами

Коротко о главном

Действительные числа — это все рациональные и все иррациональные числа вместе. Числовые множества вложены друг в друга, а действия над действительными числами подчиняются тем же законам, что и над обычными дробями.

N \subset Z \subset Q \subset R

Подробное объяснение

Представьте, что вы считаете ступеньки в подъезде: 1, 2, 3… Это натуральные числа. Но в лифте есть кнопка «−1» для подвала, а в рецепте пирога — «½ стакана». Чисел для счёта предметов не хватает, и множество чисел постепенно расширяли.

Четыре числовых множества

N — натуральные числа: 1, 2, 3, … Ноль сюда не входит. Сумма и произведение натуральных чисел — натуральные, а разность и частное — не всегда: 3 − 5 и 3 : 5 уже не натуральные.
Z — целые числа: натуральные, противоположные им и ноль. В Z можно складывать, вычитать и умножать, не выходя за пределы множества. Деление по-прежнему подводит: 7 : 2 = 3,5.
Q — рациональные числа: все числа, которые можно записать дробью $\dfrac{m}{n}$ , где $$m$$ — целое, $$n$$ — натуральное. В Q выполнимы все четыре действия (кроме деления на ноль). Любое рациональное число записывается конечной или бесконечной периодической десятичной дробью: $\dfrac14 = 0{,}25$ , $\dfrac13 = 0{,}333\ldots = 0{,}(3)$ .
R — действительные числа: рациональные плюс иррациональные. Иррациональное число — бесконечная непериодическая десятичная дробь: $\sqrt2 = 1{,}41421\ldots$ , $\pi = 3{,}14159\ldots$ Если натуральное $$n$$ не является квадратом натурального числа, то $\sqrt n$ иррационален.

Четыре вложенных прямоугольника. Внутри всех — натуральные числа N, их охватывают целые Z, затем рациональные Q, снаружи — действительные R; в каждой полосе подписаны примеры чисел. — Каждое следующее множество включает предыдущее — N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R.

Знак $\in$ читается «принадлежит»: $5 \in N$ . Знак $\notin$ — «не принадлежит»: $-5 \notin N$ . Знак $\subset$ ставят между множествами: $N \subset Z$ значит, что каждое натуральное число — целое.

Координатная прямая

Каждому действительному числу соответствует ровно одна точка координатной прямой, и наоборот. Между любыми двумя точками, как бы близко они ни стояли, лежит бесконечно много точек и с рациональными, и с иррациональными координатами. Иррациональное число отмечают по приближённому значению: $\sqrt7 \approx 2{,}65$ — чуть ближе к 3, чем к 2.

Законы алгебры

Для любых действительных чисел верны знакомые свойства:

переместительные: $$a + b = b + a$$ , $$ab = ba$$ ;
сочетательные: $$(a + b) + c = a + (b + c)$$ , $$(ab)c = a(bc)$$ ;
распределительное: $$a(b + c) = ab + ac$$ ;
свойства нуля и единицы: $$a + 0 = a$$ , $a \cdot 1 = a$ , $a \cdot 0 = 0$ ;
у каждого числа есть противоположное, $$a + (-a) = 0$$ , а у каждого $a \ne 0$ — обратное, $a \cdot \dfrac1a = 1$ .

Эти законы не просто «правила из учебника» — они упрощают счёт. Например, $4 \cdot 3{,}7 \cdot 25 = (4 \cdot 25) \cdot 3{,}7 = 370$ — сначала удобная пара.

Как решать задачи

Чтобы определить, к какому множеству относится число, сначала упростите его: $\sqrt{25} = 5$ , $\dfrac{12}{4} = 3$ .
Целое положительное число — натуральное. Целое — принадлежит Z, Q и R. Дробь или периодическая десятичная дробь — Q и R. Корень из «неквадрата» или $\pi$ — только R.
Чтобы получить периодическую дробь, делите числитель на знаменатель уголком; как только остаток повторился, повторятся и цифры — это период.
Чтобы отметить число на прямой или сравнить его с другими, найдите приближённое значение с нужной точностью.
В вычислениях ищите, где законы алгебры сокращают работу: вынесите общий множитель, переставьте удобные слагаемые.

Разобранные примеры

База

Распределяем числа по множествам

Условие

Каким множествам принадлежит каждое из чисел −5; 3/8; √25; √6; 0,(4)?

Решение

$$-5$$ — целое отрицательное, принадлежит $$Z$$ , $$Q$$ , $$R$$ .

$\dfrac38$ — нецелая дробь, принадлежит $$Q$$ и $$R$$ .

$\sqrt{25} = 5$ — натуральное, принадлежит $$N$$ , $$Z$$ , $$Q$$ , $$R$$ .

$\sqrt6$ — 6 не является квадратом натурального числа, корень иррационален, принадлежит только $$R$$ .

$$0{,}(4)$$ — периодическая дробь, она равна $\dfrac49$ , принадлежит $$Q$$ и $$R$$ .

Ответ: −5 ∈ Z, Q, R; 3/8 ∈ Q, R; √25 ∈ N, Z, Q, R; √6 ∈ R; 0,(4) ∈ Q, R

Средний

Периодическая дробь в обыкновенную

Условие

Запишите число 0,3(18) в виде несократимой обыкновенной дроби.

Решение

Пусть $x = 0{,}31818\ldots$ Умножим на $$10$$ , чтобы период начинался сразу после запятой, получим $10x = 3{,}1818\ldots$

Период из двух цифр, поэтому умножим ещё на $$100$$ , получим $1000x = 318{,}1818\ldots$

Вычтем из второго равенства первое, «хвосты» сократятся, и останется $$990x = 315$$ .

x = \dfrac{315}{990} = \dfrac{7}{22}.

Проверка делением: $7 : 22 = 0{,}31818\ldots$

Ответ: 7/22

Сложный

Сумма рационального и иррационального

Условие

Докажите, что число 2 + √3 иррационально.

Решение

Предположим противное, пусть $2 + \sqrt3 = r$ , где $$r$$ — рациональное число.

Тогда $\sqrt3 = r - 2$ . Разность двух рациональных чисел рациональна, значит, $\sqrt3$ было бы рациональным.

Но 3 не является квадратом натурального числа, поэтому $\sqrt3$ иррационален. Противоречие, значит, предположение неверно.

Ответ: Число 2 + √3 иррационально

Типичные ошибки

Считают любую бесконечную дробь иррациональной

Почему неверно

Число $0{,}333\ldots$ бесконечное, но в нём повторяется цифра 3. Это периодическая дробь, она равна $\dfrac13$ , то есть рациональна.

Как правильно

Иррациональны только бесконечные непериодические дроби. Есть период — число рациональное.

Думают, что корень всегда иррационален

Почему неверно

$\sqrt{49} = 7$ , $\sqrt{0{,}36} = 0{,}6$ — корни извлекаются, и результат рационален. Знак корня ещё ничего не говорит о виде числа.

Как правильно

Сначала попробуйте извлечь корень. Иррационален $\sqrt n$ только тогда, когда натуральное $$n$$ не является квадратом натурального числа.

Относят ноль к натуральным числам

Почему неверно

В российской школе натуральные числа начинаются с 1 — это числа, которыми считают предметы. Ноль — целое число, но не натуральное.

Как правильно

$0 \in Z$ , $0 \in Q$ , $0 \in R$ , но $0 \notin N$ .

Проверь себя

Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.

Проверь себя по всему разделу

Задачи для тренировки

От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.

База Задача 1

Какие из чисел −7; 0,25; √16; √5; 2/9 являются целыми?

Подсказка

Сначала упростите корни, если они извлекаются.

Решение

$\sqrt{16} = 4$ — целое, $$-7$$ — целое. Число $$0{,}25$$ и дробь $\dfrac29$ — нецелые, $\sqrt5$ — иррациональное число.

Ответ

−7 и √16

База Задача 2

Запишите дробь 5/12 в виде бесконечной периодической десятичной дроби.

Подсказка

Делите 5 на 12 уголком и следите за остатками.

Решение

Делим 5 на 12 уголком, получаем $0{,}41666\ldots$ После цифр $$4$$ и $$1$$ остаток $$8$$ повторяется, и каждый раз получается цифра $$6$$ . Значит, $\dfrac{5}{12} = 0{,}41(6)$ .

Ответ

0,41(6)

Средний Задача 3

Вычислите (√0,81 + √0,09) · 2,5.

Решение

$\sqrt{0{,}81} = 0{,}9$ , $\sqrt{0{,}09} = 0{,}3$ . Сумма $$0{,}9 + 0{,}3 = 1{,}2$$ , произведение $1{,}2 \cdot 2{,}5 = 3$ .

Ответ

3

Средний Задача 4

Запишите число 0,(27) в виде несократимой обыкновенной дроби.

Подсказка

Обозначьте число через x и умножьте на 100 — период сдвинется на две цифры.

Решение

Пусть $x = 0{,}2727\ldots$ Тогда $100x = 27{,}2727\ldots$ Вычтем, получим $$99x = 27$$ , откуда $x = \dfrac{27}{99} = \dfrac{3}{11}$ .

Ответ

3/11

Сложный Задача 5

Верно ли, что сумма двух иррациональных чисел всегда иррациональна? Ответ обоснуйте примером.

Решение

Неверно. Числа $3 + \sqrt2$ и $3 - \sqrt2$ иррациональны, а их сумма $(3 + \sqrt2) + (3 - \sqrt2) = 6$ — целое число.

Ответ

Нет, например (3 + √2) + (3 − √2) = 6

Сложный Задача 6

Найдите сумму 3,(6) + 1,(3), переведя слагаемые в обыкновенные дроби.

Подсказка

0,(6) = 6/9, 0,(3) = 3/9.

Решение

$3{,}(6) = 3\dfrac69 = \dfrac{11}{3}$ , $1{,}(3) = 1\dfrac39 = \dfrac43$ . Сумма $\dfrac{11}{3} + \dfrac43 = \dfrac{15}{3} = 5$ .

Ответ

5

Для родителя

Как объяснить за 5 минут. Нарисуйте четыре прямоугольника один в другом и подпишите N, Z, Q, R. Пусть ребёнок сам «рассадит» по ним числа: 7, −2, 0, ½, 0,(3), √4, √5, π. Затем разделите 1 на 3 на калькуляторе и обсудите, почему цифры повторяются, а у √2 — нет.

Вопросы для проверки понимания: 1) Почему −3 — целое, но не натуральное число? 2) Является ли 0,(7) рациональным числом и почему? 3) Как без калькулятора понять, что √10 лежит между 3 и 4?

На что обратить внимание. Главная путаница — между «бесконечной» и «непериодической» дробью и привычка считать любой корень иррациональным. Попросите ребёнка всегда сначала упрощать число, а потом уже определять его вид.

Где в учебниках

Учебник	Параграф	Упражнения
Алгебра. 9 класс (Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова)	§ 1	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21