Задача 1
а) Доказать, что значение выражения √((7 − 4√3)²) − √((4 − 2√3)²) — рациональное число.
Решение
Пользуемся тождеством \(\sqrt{x^2} = |x|\).
\(4\sqrt{3} = \sqrt{48} < \sqrt{49} = 7\), поэтому \(7 - 4\sqrt{3} > 0\) и \(\sqrt{(7 - 4\sqrt{3})^2} = 7 - 4\sqrt{3}\).
\(2\sqrt{3} = \sqrt{12} < \sqrt{16} = 4\), поэтому \(\sqrt{(4 - 2\sqrt{3})^2} = 4 - 2\sqrt{3}\).
Разность: \(7 - 4\sqrt{3} - 4 + 2\sqrt{3} = 3 - 2\sqrt{3}\) — это иррациональное число, так что в напечатанном виде утверждение доказать нельзя: в условии, по-видимому, опечатка.
Подходящий вариант условия: \(\sqrt{7 - 4\sqrt{3}} + \sqrt{4 - 2\sqrt{3}}\). Заметим, что \(7 - 4\sqrt{3} = (2 - \sqrt{3})^2\) и \(4 - 2\sqrt{3} = (\sqrt{3} - 1)^2\). Тогда
\(\sqrt{(2 - \sqrt{3})^2} + \sqrt{(\sqrt{3} - 1)^2} = (2 - \sqrt{3}) + (\sqrt{3} - 1) = 1\) — рациональное число.
Ответ
Корень из квадрата равен модулю: \(\sqrt{x^2} = |x|\), поэтому сначала выясняют знак выражения в скобках.
Подробнее — в теме «Действия над действительными числами».