а) Рациональным или иррациональным является значение выражения (√2 + √3)(√2 − √3)?
По формуле разности квадратов: \((\sqrt{2} + \sqrt{3})(\sqrt{2} - \sqrt{3}) = 2 - 3 = -1\).
Произведение сопряжённых выражений \((a + b)(a - b) = a^2 - b^2\) избавляет от корней.
Подробнее — в теме «Действия над действительными числами».
б) Рациональным или иррациональным является значение выражения (√2 + 2√3)(√2 − √3)?
\((\sqrt{2} + 2\sqrt{3})(\sqrt{2} - \sqrt{3}) = 2 - \sqrt{6} + 2\sqrt{6} - 2 \cdot 3 = -4 + \sqrt{6}\).
\(\sqrt{6}\) иррационально, значит, и \(\sqrt{6} - 4\) иррационально.
Множители не сопряжённые, поэтому после раскрытия скобок корень \(\sqrt{6}\) не сокращается.
Подробнее — в теме «Действия над действительными числами».
в) Рациональным или иррациональным является значение выражения 1/(2 + √3) + 1/(2 − √3)?
Общий знаменатель \((2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3}) = 4 - 3 = 1\).
\(\dfrac{(2 - \sqrt{3}) + (2 + \sqrt{3})}{1} = 4\).
Знаменатели сопряжённые, их произведение рационально, а корни в числителе сокращаются.
Подробнее — в теме «Действия над действительными числами».
г) Рациональным или иррациональным является значение выражения 1/(√3 − √2) − 1/(√3 + √2)?
Общий знаменатель \((\sqrt{3} - \sqrt{2})(\sqrt{3} + \sqrt{2}) = 3 - 2 = 1\).
\(\dfrac{(\sqrt{3} + \sqrt{2}) - (\sqrt{3} - \sqrt{2})}{1} = 2\sqrt{2}\) — иррациональное число.
После приведения к общему знаменателю остаётся \(2\sqrt{2}\), а \(\sqrt{2}\) иррационально.
Подробнее — в теме «Действия над действительными числами».
д) Рациональным или иррациональным является значение выражения (√2 + √3)/(√3 − √2)?
Умножим числитель и знаменатель на \(\sqrt{3} + \sqrt{2}\):
\(\dfrac{(\sqrt{3} + \sqrt{2})^2}{3 - 2} = 3 + 2\sqrt{6} + 2 = 5 + 2\sqrt{6}\) — иррациональное число.
Освобождаемся от иррациональности в знаменателе, домножая на сопряжённое выражение.
Подробнее — в теме «Действия над действительными числами».
е) Рациональным или иррациональным является значение выражения √5/(√5 − √2) + √5/(√5 + √2)?
Общий знаменатель \((\sqrt{5} - \sqrt{2})(\sqrt{5} + \sqrt{2}) = 5 - 2 = 3\).
\(\dfrac{\sqrt{5}(\sqrt{5} + \sqrt{2}) + \sqrt{5}(\sqrt{5} - \sqrt{2})}{3} = \dfrac{\sqrt{5} \cdot 2\sqrt{5}}{3} = \dfrac{10}{3}\).
Знаменатели сопряжённые; в числителе слагаемые с \(\sqrt{2}\) сокращаются, а \(\sqrt{5} \cdot \sqrt{5} = 5\).
Подробнее — в теме «Действия над действительными числами».
Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Алгебра. 9 класс» (Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; под ред. С. А. Теляковского; Просвещение, 2023).
УрокГид — https://urokgid.ru/uchebniki/algebra-9-makarychev-mindyuk-neshkov-suvorova/dopolnitelnye-uprazhneniya-k-glave-1/upr-90/