Алгебра. 9 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова

Задание 187

Задача 1

Условие (кратко)

а) Доказать, что произведение двух чётных функций — чётная функция.

Решение

Пусть $$f$$ и $$g$$ чётные, $h(x) = f(x) \cdot g(x)$ . Область определения $$h$$ — общая часть симметричных множеств, она симметрична.

h(-x) = f(-x) \cdot g(-x) = f(x) \cdot g(x) = h(x).

Значит, $$h$$ чётная.

Ответ

Доказано: h(−x) = f(x) · g(x) = h(x)

Почему так

Для чётных функций $$f(-x) = f(x)$$ , поэтому произведение не меняется при замене $$x$$ на $$-x$$ .

Подробнее — в теме «Чётные и нечётные функции».

Задача 2

Условие (кратко)

б) Доказать, что произведение двух нечётных функций — чётная функция.

Решение

Пусть $$f$$ и $$g$$ нечётные, $h(x) = f(x) \cdot g(x)$ , область определения симметрична.

h(-x) = f(-x) \cdot g(-x) = \big(-f(x)\big) \cdot \big(-g(x)\big) = f(x) \cdot g(x) = h(x).

Два минуса дают плюс, значит, $$h$$ чётная.

Ответ

Доказано: h(−x) = (−f(x))(−g(x)) = h(x)

Почему так

Произведение двух противоположных множителей равно произведению исходных: $$(-a)(-b) = ab$$ .

Подробнее — в теме «Чётные и нечётные функции».

Задача 3

Условие (кратко)

в) Доказать, что произведение чётной и нечётной функций — нечётная функция.

Решение

Пусть $$f$$ чётная, $$g$$ нечётная, $h(x) = f(x) \cdot g(x)$ , область определения симметрична.

h(-x) = f(-x) \cdot g(-x) = f(x) \cdot \big(-g(x)\big) = -f(x)\,g(x) = -h(x).

Значит, $$h$$ нечётная. Пример: $x^2 \cdot x = x^3$ .

Ответ

Доказано: h(−x) = f(x) · (−g(x)) = −h(x)

Почему так

Минус появляется только от нечётного множителя, поэтому произведение нечётно.

Подробнее — в теме «Чётные и нечётные функции».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Алгебра. 9 класс» (Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; под ред. С. А. Теляковского; Просвещение, 2023).

Нашли ошибку?

УрокГид — https://urokgid.ru/uchebniki/algebra-9-makarychev-mindyuk-neshkov-suvorova/dopolnitelnye-uprazhneniya-k-glave-2/upr-187/