Чётные и нечётные функции — 9 класс, алгебра: объяснение и примеры

Коротко о главном

Функция чётная, если её область определения симметрична относительно нуля и $$f(-x) = f(x)$$ ; её график симметричен относительно оси $$y$$ . Функция нечётная, если область симметрична и $$f(-x) = -f(x)$$ ; её график симметричен относительно начала координат.

f(-x) = f(x) \text{ — чётная}, \qquad f(-x) = -f(x) \text{ — нечётная}

Подробное объяснение

Сложите лист бумаги пополам и капните кляксу на сгиб: развернув лист, вы увидите две одинаковые половинки. Так выглядят графики многих функций: левая половина — зеркальное отражение правой. Такие функции называют чётными. Есть и другая симметрия — когда график совпадает сам с собой после поворота на пол-оборота вокруг начала координат. Это нечётные функции.

Чётная функция

Функция $$y = f(x)$$ чётная, если выполнены два условия:

область определения симметрична относительно нуля: вместе с каждым числом $$x$$ в неё входит и $$-x$$ ;
для любого $$x$$ из области определения $$f(-x) = f(x)$$ .

Второе условие говорит: противоположным значениям аргумента соответствуют равные значения функции. Точки $(x;\ f(x))$ и $(-x;\ f(x))$ лежат на одной высоте по разные стороны от оси $$y$$ — поэтому график симметричен относительно оси ординат.

Парабола y = f(x), симметричная относительно оси y. Точки (−2; 1) и (2; 1) на ней соединены пунктиром — у противоположных x одинаковые значения функции. — График чётной функции симметричен относительно оси ординат, f(−x) = f(x).

Простейший пример — $$y = x^2$$ , ведь $$(-3)^2 = 3^2 = 9$$ . Чётны и $$y = x^4$$ , $$y = |x|$$ , $$y = 5 - 3x^2$$ — во всех них $$x$$ встречается только в чётной степени или под модулем.

Нечётная функция

Функция $y = \varphi(x)$ нечётная, если:

область определения симметрична относительно нуля;
для любого $$x$$ из неё $\varphi(-x) = -\varphi(x)$ .

Противоположным $$x$$ соответствуют противоположные значения функции. Точки $(x;\ \varphi(x))$ и $(-x;\ -\varphi(x))$ симметричны относительно начала координат: отрезок между ними проходит через точку $$O$$ и делится ею пополам.

Кривая y = φ(x), проходящая через начало координат. Точки (2; 1) и (−2; −1) на ней соединены пунктиром через точку O — у противоположных x противоположные значения функции. — График нечётной функции симметричен относительно начала координат, φ(−x) = −φ(x).

Примеры нечётных функций: $$y = x^3$$ , $$y = 5x$$ , $y = \dfrac{1}{x}$ , $$y = x^3 - x$$ . Если нечётная функция определена в нуле, то $\varphi(0) = -\varphi(0)$ , значит, $\varphi(0) = 0$ — её график проходит через начало координат.

Ни то ни другое

Большинство функций не чётные и не нечётные. Например, $$y = x + 1$$ : при $$x = 1$$ значение $$2$$ , при $$x = -1$$ значение $$0$$ — не равны и не противоположны. А у функции $y = \sqrt{x}$ область определения $[0;\ +\infty)$ несимметрична, и проверять равенства вообще бессмысленно.

Чтобы доказать, что функция не чётная, достаточно одного примера: одной пары $$x$$ и $$-x$$ , для которой $f(-x) \ne f(x)$ . А чтобы доказать, что она чётная, нужно преобразовать $$f(-x)$$ в общем виде — проверка нескольких чисел ничего не доказывает.

Как решать задачи

Найдите область определения функции и проверьте, симметрична ли она относительно нуля. Если нет — функция ни чётная, ни нечётная, дальше проверять не нужно.
Подставьте $$-x$$ вместо каждого $$x$$ в формулу и упростите: $$(-x)^2 = x^2$$ , $$(-x)^3 = -x^3$$ , $$|-x| = |x|$$ .
Сравните результат с $$f(x)$$ . Получилось $$f(x)$$ — функция чётная; получилось $$-f(x)$$ — нечётная.
Если не получилось ни то ни другое, подберите конкретное $$x$$ (например, $$1$$ ), при котором $f(-x) \ne f(x)$ и $f(-x) \ne -f(x)$ , — это и будет доказательство.
По графику: симметрия относительно оси $$y$$ — чётная, относительно точки $$O$$ — нечётная. Чтобы достроить график чётной функции, отразите известную часть относительно оси $$y$$ , нечётной — относительно начала координат.

Разобранные примеры

База

Многочлен с чётными степенями

Условие

Исследуйте на чётность функцию $$f(x) = 2x^4 - 3x^2$$ .

Решение

Функция определена при всех $$x$$ — область симметрична.

$$f(-x) = 2(-x)^4 - 3(-x)^2 = 2x^4 - 3x^2 = f(x)$$ .

Равенство $$f(-x) = f(x)$$ выполняется при любом $$x$$ , поэтому функция чётная.

Ответ: Чётная

Средний

Функция с дробью

Условие

Исследуйте на чётность функцию $g(x) = x^3 - \dfrac{4}{x}$ .

Решение

Область определения: $x \ne 0$ , то есть $(-\infty;\ 0) \cup (0;\ +\infty)$ — она симметрична относительно нуля.

$g(-x) = (-x)^3 - \dfrac{4}{-x} = -x^3 + \dfrac{4}{x} = -\left(x^3 - \dfrac{4}{x}\right) = -g(x)$ .

Значит, функция нечётная.

Ответ: Нечётная

Сложный

Формула «нечётная», а функция нет

Условие

Исследуйте на чётность функцию $h(x) = \dfrac{x^2 + x}{x + 1}$ .

Решение

Знаменатель не равен нулю: $x \ne -1$ . Число $$-1$$ не входит в область определения, а противоположное ему число $$1$$ входит. Область определения несимметрична относительно нуля.

Заметим: при $x \ne -1$ дробь сокращается, $h(x) = \dfrac{x(x + 1)}{x + 1} = x$ , и хочется сказать «нечётная, как $$y = x$$ ». Но это неверно: график $$h$$ — прямая $$y = x$$ с выколотой точкой $(-1;\ -1)$ , а симметричная ей точка $(1;\ 1)$ на графике есть. Симметрии относительно начала координат нет.

Ответ: Ни чётная, ни нечётная

Типичные ошибки

Забывают про область определения

Почему неверно

Равенство $$f(-x) = f(x)$$ или $$f(-x) = -f(x)$$ может выполняться при всех допустимых $$x$$ , но если область определения несимметрична, функция не чётная и не нечётная. Например, $$y = x^2$$ на промежутке $[-1;\ 3]$ не чётная: $$f(3)$$ есть, а $$f(-3)$$ нет.

Как правильно

Первым делом найдите область определения и проверьте: вместе с каждым $$x$$ в неё входит $$-x$$ ? Только после этого сравнивайте $$f(-x)$$ с $$f(x)$$ .

Делают вывод по одной паре чисел

Почему неверно

У функции $$f(x) = x^3 - x$$ значения $$f(1) = 0$$ и $$f(-1) = 0$$ равны, но функция не чётная: $$f(2) = 6$$ , а $$f(-2) = -6$$ . Одна пара точек доказывает только «не чётная» или «не нечётная», но не наоборот.

Как правильно

Чётность и нечётность доказывайте в общем виде: подставьте $$-x$$ в формулу и упростите. Конкретные числа используйте только для опровержения.

Путают $(-x)^2$ и $-x^2$

Почему неверно

При подстановке теряют скобки: пишут $$-x^2$$ вместо $$(-x)^2$$ или $$-x^3$$ превращают в $$x^3$$ . Из-за этого чётная функция «оказывается» нечётной и наоборот.

Как правильно

Подставляйте $$-x$$ всегда в скобках и помните: чётная степень убирает минус, $$(-x)^2 = x^2$$ , $$(-x)^4 = x^4$$ ; нечётная сохраняет, $$(-x)^3 = -x^3$$ ; модуль убирает, $$|-x| = |x|$$ .

Проверь себя

Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.

Проверь себя по всему разделу

Задачи для тренировки

От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.

База Задача 1

Докажите, что функция $$f(x) = 3x^4 - x^2 + 2$$ чётная.

Подсказка

Подставьте $$-x$$ вместо $$x$$ и вспомните, что чётная степень «съедает» минус.

Решение

Функция определена при всех $$x$$ , область $(-\infty;\ +\infty)$ симметрична относительно нуля. $$f(-x) = 3(-x)^4 - (-x)^2 + 2 = 3x^4 - x^2 + 2 = f(x)$$ . Значит, функция чётная.

Ответ

Чётная, так как f(−x) = f(x) при всех x

База Задача 2

Функция $$y = f(x)$$ нечётная, $$f(4) = -7$$ . Найдите $$f(-4)$$ .

Подсказка

У нечётной функции противоположным $$x$$ соответствуют противоположные значения.

Решение

Для нечётной функции $$f(-x) = -f(x)$$ , поэтому $$f(-4) = -f(4) = -(-7) = 7$$ .

Ответ

7

Средний Задача 3

Является ли функция $$g(x) = x^3 + x^2$$ чётной или нечётной?

Подсказка

Сравните $$g(-1)$$ с $$g(1)$$ и с $$-g(1)$$ .

Решение

Область определения — все числа, она симметрична. $$g(1) = 1 + 1 = 2$$ , $$g(-1) = -1 + 1 = 0$$ . Так как $g(-1) \ne g(1)$ , функция не чётная; так как $g(-1) \ne -g(1) = -2$ , она и не нечётная.

Ответ

Ни чётная, ни нечётная

Средний Задача 4

Является ли функция $h(x) = \dfrac{x^2}{x - 1}$ чётной или нечётной?

Подсказка

Начните с области определения.

Решение

Знаменатель не равен нулю, значит, $x \ne 1$ . Число $$1$$ не входит в область определения, а противоположное ему $$-1$$ входит — область несимметрична относительно нуля. Поэтому функция не может быть ни чётной, ни нечётной.

Ответ

Ни чётная, ни нечётная (область определения несимметрична)

Сложный Задача 5

Нечётная функция $\varphi$ определена при всех $$x$$ , и при $$x > 0$$ $\varphi(x) = x^2 - 2x$ . Найдите $\varphi(-3)$ и $\varphi(0)$ .

Подсказка

Для $\varphi(0)$ запишите условие нечётности при $$x = 0$$ .

Решение

$\varphi(3) = 9 - 6 = 3$ , поэтому $\varphi(-3) = -\varphi(3) = -3$ . При $$x = 0$$ условие нечётности даёт $\varphi(0) = -\varphi(0)$ , то есть $2\varphi(0) = 0$ и $\varphi(0) = 0$ .

Ответ

φ(−3) = −3, φ(0) = 0

Сложный Задача 6

При каком значении $$a$$ функция $$f(x) = x^2 + (a - 3)x + 5$$ является чётной?

Подсказка

Запишите $$f(-x) = f(x)$$ и сравните слагаемые с $$x$$ в первой степени.

Решение

$$f(-x) = x^2 - (a - 3)x + 5$$ . Равенство $$f(-x) = f(x)$$ при всех $$x$$ означает $$-(a - 3)x = (a - 3)x$$ , то есть $$2(a - 3)x = 0$$ при всех $$x$$ . Это возможно только при $$a - 3 = 0$$ , $$a = 3$$ . Тогда $$f(x) = x^2 + 5$$ — чётная.

Ответ

a = 3

Для родителя

Как объяснить за 5 минут. Нарисуйте на клетчатой бумаге оси и параболу $$y = x^2$$ , сложите лист по оси $$y$$ — половинки совпадут: это чётная функция. Потом нарисуйте $$y = x^3$$ и поверните лист на пол-оборота вокруг начала координат — график ляжет сам на себя: это нечётная функция. Подставьте вместе с ребёнком $$x = 2$$ и $$x = -2$$ в обе формулы и сравните значения.

Вопросы для проверки понимания: 1) Почему у чётной функции график симметричен относительно оси $$y$$ ? 2) Может ли функция с областью определения $[0;\ 5]$ быть чётной? 3) Как доказать, что функция $$y = x + 2$$ не чётная?

На что обратить внимание. Ребёнок должен начинать с области определения и подставлять $$-x$$ в скобках. Проверка двух-трёх чисел не доказывает чётность — только опровергает её.

Где в учебниках

Учебник	Параграф	Упражнения
Алгебра. 9 класс (Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова)	§ 7	98, 99, 100, 101, 102, 103, 104, 105, 106, 107, 108, 109, 110