а) Задать формулой функцию по графику (рис. 40, а): ломаная «галочка» с вершиной в точке (−3; 0), проходит через (0; 3). Описать её свойства (повышенной трудности).
Решение
График — «уголок», как у \(y = |x|\), но вершина сдвинута в точку \((-3;\ 0)\). Проверим по точкам: при \(x = 0\) на рисунке \(y = 3\), при \(x = -7\) — \(y = 4\). Формула \(y = |x + 3|\) даёт \(|0 + 3| = 3\) и \(|-7 + 3| = 4\) — совпадает.
б) Задать формулой функцию по графику (рис. 40, б): гипербола с ветвями в I и III четвертях через точки (1; 2) и (2; 1). Описать её свойства (повышенной трудности).
Решение
Гипербола с асимптотами — осями координат, значит, \(y = \dfrac{k}{x}\). По рисунку график проходит через \((1;\ 2)\) и \((2;\ 1)\), поэтому \(k = 1 \cdot 2 = 2\): \(y = \dfrac{2}{x}\).
Свойства:
\(D\): \(x \ne 0\); \(E\): \(y \ne 0\);
нулей нет;
\(y > 0\) при \(x > 0\), \(y < 0\) при \(x < 0\);
убывает на \((-\infty;\ 0)\) и на \((0;\ +\infty)\);
наибольшего и наименьшего значений нет;
функция нечётная.
Ответ
y = 2/x; x ≠ 0, y ≠ 0, нулей нет, y > 0 при x > 0, убывает на (−∞; 0) и (0; +∞), нечётная
Почему так
Для гиперболы \(y = \dfrac{k}{x}\) коэффициент равен произведению координат любой её точки, \(k = xy\).
в) Задать формулой функцию по графику (рис. 40, в): ветвь, выходящая из начала координат вправо и вверх, около (6; 4). Описать её свойства (повышенной трудности).
Решение
Ветвь начинается в точке \((0;\ 0)\), определена только при \(x \ge 0\), растёт всё медленнее — это график вида \(y = \sqrt{kx}\). Рисунок схематичный; по узлу сетки \((6;\ 4)\), через который проходит кривая, \(4 = \sqrt{6k}\), \(k = \dfrac{16}{6} = \dfrac{8}{3}\). Получаем \(y = \sqrt{\dfrac{8x}{3}}\) (примерно \(y \approx 1{,}6\sqrt{x}\)); проверка: при \(x = 9\) получается \(\sqrt{24} \approx 4{,}9\), как на рисунке у правого края.
Свойства:
\(D = [0;\ +\infty)\), \(E = [0;\ +\infty)\);
нуль функции \(x = 0\); \(y > 0\) при \(x > 0\);
возрастает на \([0;\ +\infty)\);
наименьшее значение 0 при \(x = 0\), наибольшего нет;
не является ни чётной, ни нечётной.
Ответ
y = √(8x/3) ≈ 1,6√x (вид y = √(kx), k по точке (6; 4)); D = [0; +∞), E = [0; +∞), нуль x = 0, возрастает
Почему так
График \(y = \sqrt{kx}\) выходит из начала координат, а \(k\) находится по любой точке графика: \(k = \dfrac{y^2}{x}\).
Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Алгебра. 9 класс» (Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; под ред. С. А. Теляковского; Просвещение, 2023).