Что нужно знать до
Если что-то из этого забылось, начни оттуда — так будет понятнее.
Коротко о главном
Каждую основную функцию узнают по графику — прямая, гипербола, парабола, кубическая парабола, ветвь корня, «галочка» модуля. По графику и по формуле описывают её свойства по одному плану: область определения, множество значений, нули, промежутки знакопостоянства, монотонность, наибольшее и наименьшее значения, чётность.
Подробное объяснение
Представьте, что вы описываете человека по анкете: рост, возраст, город. Функции тоже описывают по «анкете» — одним и тем же пунктам. Тогда любые две функции легко сравнить, а график можно примерно нарисовать, даже не считая точек.
План описания функции
- Область определения \(D\) — при каких \(x\) формула имеет смысл. На ноль делить нельзя, корень из отрицательного числа не извлекают.
- Множество значений \(E\) — какие \(y\) функция принимает.
- Нули — значения \(x\), при которых \(y = 0\). На графике это точки пересечения с осью \(Ox\).
- Промежутки знакопостоянства — где \(y > 0\) (график выше оси \(Ox\)) и где \(y < 0\) (ниже).
- Монотонность — где функция возрастает (график идёт вверх слева направо) и где убывает.
- Наибольшее и наименьшее значения, если они есть.
- Чётность: чётная — график симметричен относительно оси \(Oy\), нечётная — относительно начала координат.
Анкеты основных функций
Линейная функция \(y = kx + b\). График — прямая. \(D\) и \(E\) — все числа (при \(k \ne 0\)). Нуль один: \(x = -\dfrac{b}{k}\). При \(k > 0\) функция возрастает, при \(k < 0\) убывает. Наибольшего и наименьшего значений нет. При \(b = 0\) функция \(y = kx\) нечётная, при \(b \ne 0\) — ни чётная, ни нечётная.
Обратная пропорциональность \(y = \dfrac{k}{x}\). График — гипербола из двух ветвей. \(x \ne 0\) и \(y \ne 0\), нулей нет. При \(k > 0\) ветви в I и III четвертях: \(y > 0\) при \(x > 0\), \(y < 0\) при \(x < 0\), функция убывает на \((-\infty;\ 0)\) и на \((0;\ +\infty)\). При \(k < 0\) ветви во II и IV четвертях, функция возрастает на каждом из этих промежутков. Функция нечётная.
Функция \(y = x^2\). График — парабола с вершиной в начале координат. \(D\) — все числа, \(E = [0;\ +\infty)\). Нуль \(x = 0\), при остальных \(x\) значения положительны. Убывает на \((-\infty;\ 0]\), возрастает на \([0;\ +\infty)\), наименьшее значение \(0\). Чётная.
Функция \(y = x^3\). График — кубическая парабола. \(D\) и \(E\) — все числа, нуль \(x = 0\); \(y > 0\) при \(x > 0\), \(y < 0\) при \(x < 0\). Возрастает везде. Нечётная.
Функция \(y = \sqrt{x}\). График — половина «лежачей» параболы. \(D = [0;\ +\infty)\), \(E = [0;\ +\infty)\). Нуль \(x = 0\), при \(x > 0\) значения положительны. Возрастает, наименьшее значение \(0\). Ни чётная, ни нечётная: её область определения не симметрична.
Функция \(y = |x|\). График — «галочка» из двух лучей. \(D\) — все числа, \(E = [0;\ +\infty)\). Нуль \(x = 0\), при \(x \ne 0\) значения положительны. Убывает на \((-\infty;\ 0]\), возрастает на \([0;\ +\infty)\), наименьшее значение \(0\). Чётная.
Что общего и в чём разница
Сравните «анкеты» — и увидите закономерности. Все чётные функции из списка (\(y = x^2\) и \(y = |x|\)) ведут себя одинаково: слева от нуля убывают, справа возрастают, а в нуле принимают наименьшее значение. Нечётные (\(y = kx\), \(y = \dfrac{k}{x}\), \(y = x^3\)) не имеют ни наибольшего, ни наименьшего значения: сколько значений у них справа, столько же «зеркальных» слева. Функция \(y = \sqrt{x}\) определена только при \(x \ge 0\), поэтому вопрос о её чётности даже не встаёт — для \(x = 4\) нет «пары» \(x = -4\).
Ещё одна подсказка — знак коэффициента. Если перед формулой поставить минус (\(y = -x^2\), \(y = -x^3\)), график отразится относительно оси \(Ox\): возрастание сменится убыванием, наименьшее значение станет наибольшим, а промежутки знакопостоянства поменяются местами. Нули и область определения при этом не меняются.
Как решать задачи
- Определите вид функции по формуле: прямая, гипербола, парабола и т. д.
- Найдите область определения: исключите \(x\), при которых знаменатель равен нулю или под корнем отрицательное число.
- Составьте таблицу из 4–6 значений \(x\), включая нули и точки около них. Для гиперболы берите \(x\) по обе стороны от нуля.
- Отметьте точки и проведите график плавной линией (у \(y = kx + b\) и \(y = |x|\) — по линейке).
- Свойства читайте с графика по плану: нули — пересечения с \(Ox\), знаки — выше или ниже оси, монотонность — вверх или вниз слева направо.
- Чтобы решить уравнение графически, постройте графики левой и правой частей в одной системе координат. Абсциссы точек пересечения — корни. Если точка не попала в узел клетки, ответ приближённый — проверьте его подстановкой.
Разобранные примеры
Свойства линейной функции
Опишите свойства функции \(y = -2x + 4\).
Это линейная функция, график — прямая. Возьмём две точки: при \(x = 0\) \(y = 4\), при \(x = 3\) \(y = -2\).
- \(D\) и \(E\) — все числа.
- Нуль: \(-2x + 4 = 0\), \(x = 2\).
- \(k = -2 < 0\), значит, прямая идёт вниз: \(y > 0\) при \(x < 2\), \(y < 0\) при \(x > 2\).
- Функция убывает на всей числовой прямой, наибольшего и наименьшего значений нет.
- \(y(-1) = 6\), \(y(1) = 2\) — значения не равны и не противоположны, поэтому функция ни чётная, ни нечётная.
Свойства гиперболы
Опишите свойства функции \(y = -\dfrac{8}{x}\).
Это обратная пропорциональность с \(k = -8 < 0\). Таблица значений:
| \(x\) | \(-4\) | \(-2\) | \(-1\) | \(1\) | \(2\) | \(4\) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(y\) | \(2\) | \(4\) | \(8\) | \(-8\) | \(-4\) | \(-2\) |
- \(D\): \(x \ne 0\); \(E\): \(y \ne 0\). Нулей нет — дробь \(-\dfrac{8}{x}\) не обращается в ноль.
- Ветви во II и IV четвертях: \(y > 0\) при \(x < 0\), \(y < 0\) при \(x > 0\).
- На \((-\infty;\ 0)\) значения растут: \(2,\ 4,\ 8\); на \((0;\ +\infty)\) тоже: \(-8,\ -4,\ -2\). Функция возрастает на каждом промежутке.
- Наибольшего и наименьшего значений нет. Функция нечётная: \(y(-x) = \dfrac{8}{x} = -y(x)\).
Где пересекаются параболы
Решите графически уравнение \(x^2 = \sqrt{x}\).
Строим в одной системе координат \(y = x^2\) и \(y = \sqrt{x}\). Таблицы:
| \(x\) | \(0\) | \(0{,}25\) | \(1\) | \(4\) |
|---|---|---|---|---|
| \(x^2\) | \(0\) | \(0{,}0625\) | \(1\) | \(16\) |
| \(\sqrt{x}\) | \(0\) | \(0{,}5\) | \(1\) | \(2\) |
Обе функции определены при \(x \ge 0\). Между \(0\) и \(1\) корень больше квадрата, после \(1\) квадрат растёт гораздо быстрее. Графики сходятся в точках \((0;\ 0)\) и \((1;\ 1)\).
Проверка: \(0^2 = \sqrt{0} = 0\), \(1^2 = \sqrt{1} = 1\).
Типичные ошибки
Возьмём \(y = \dfrac{6}{x}\): \(-1 < 1\), но \(y(-1) = -6 < y(1) = 6\). Значение выросло, хотя функция «убывающая». Убывание выполняется только внутри каждой ветви.
Писать два промежутка через «и»: «убывает на \((-\infty;\ 0)\) и на \((0;\ +\infty)\)». Объединять их знаком \(\cup\) в ответе о монотонности нельзя.
У \(y = x^2\) можно подставить любой \(x\), поэтому \(D\) — все числа. А вот отрицательных значений нет, \(E = [0;\ +\infty)\). Если перепутать, получится, что \(x^2\) «нельзя считать при отрицательных \(x\)».
\(D\) — про ось \(Ox\) (что можно подставить), \(E\) — про ось \(Oy\) (что получается). Смотрите на график: \(D\) — его «тень» на ось \(Ox\), \(E\) — «тень» на ось \(Oy\).
Из \(kx + b = 0\) следует \(kx = -b\), \(x = -\dfrac{b}{k}\). Потерянный минус даёт точку по другую сторону от начала координат. Например, у \(y = 2x - 6\) нуль \(x = 3\), а не \(-3\).
Нуль ищите решением уравнения \(y = 0\) и проверяйте подстановкой: \(2 \cdot 3 - 6 = 0\).
Проверь себя
Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.
-
Какая из функций чётная?
Показать ответ
Ответ: В) Функция y = |x|
\(|-x| = |x|\) при любом \(x\), и график \(y = |x|\) симметричен относительно оси \(Oy\).
-
Какие функции возрастают на всей своей области определения?
Правильных ответов несколько.
Показать ответ
Ответ: А) Функция y = x³; Б) Функция y = √x; Д) Функция y = 3x − 1
\(y = x^3\), \(y = \sqrt{x}\) и \(y = 3x - 1\) (здесь \(k = 3 > 0\)) возрастают везде, где определены; \(y = -2x\) убывает, а \(y = x^2\) сначала убывает, потом возрастает.
-
Найдите нуль функции y = 3x + 12.
Показать ответ
Ответ: -4
\(3x + 12 = 0\), откуда \(x = -4\).
-
Каково множество значений функции y = x²?
Показать ответ
Ответ: Б) Промежуток [0; +∞)
Квадрат числа не бывает отрицательным, а значение \(0\) достигается при \(x = 0\), поэтому \(E = [0;\ +\infty)\).
-
Как ведёт себя функция y = 6/x?
Показать ответ
Ответ: А) Убывает на (−∞; 0) и на (0; +∞) по отдельности
На каждой ветви гипербола при \(k > 0\) убывает, но на всей области — нет, ведь \(y(-1) = -6 < y(1) = 6\).
Результат:
Задачи для тренировки
От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.
Найдите нуль функции \(y = -4x + 10\).
Подсказка
Нуль функции — значение \(x\), при котором \(y = 0\).
Решение
Решаем уравнение \(-4x + 10 = 0\), откуда \(4x = 10\), \(x = 2{,}5\).
Ответ
Найдите значения функции \(y = \sqrt{x}\) при \(x = 49\) и при \(x = 0{,}25\).
Решение
\(\sqrt{49} = 7\), потому что \(7^2 = 49\); \(\sqrt{0{,}25} = 0{,}5\), потому что \(0{,}5^2 = 0{,}25\).
Ответ
График функции \(y = \dfrac{k}{x}\) проходит через точку \((-2;\ 6)\). Найдите \(k\) и укажите, при каких \(x\) функция положительна.
Подсказка
Подставьте координаты точки в формулу.
Решение
Подставляем \(x = -2\) и \(y = 6\), получаем \(6 = \dfrac{k}{-2}\), откуда \(k = -12\).
При \(k < 0\) ветви гиперболы лежат во II и IV четвертях, поэтому \(y > 0\) при \(x < 0\).
Ответ
Функцию \(y = x^2\) рассматривают только на отрезке \([-3;\ 2]\). Найдите её наибольшее и наименьшее значения на этом отрезке.
Подсказка
На \([-3;\ 0]\) функция убывает, на \([0;\ 2]\) возрастает.
Решение
Отрезок содержит \(x = 0\), а там \(y = 0\) — это наименьшее значение, ведь квадрат не бывает отрицательным.
Наибольшее значение — на одном из концов: \((-3)^2 = 9\), \(2^2 = 4\). Больше \(9\).
Ответ
Решите графически уравнение \(\sqrt{x} = 6 - x\) и проверьте ответ подстановкой.
Подсказка
Одна функция возрастает, другая убывает — точек пересечения не больше одной.
Решение
Строим \(y = \sqrt{x}\) (точки \((0; 0)\), \((1; 1)\), \((4; 2)\), \((9; 3)\)) и прямую \(y = 6 - x\) (точки \((0; 6)\), \((6; 0)\)). Графики пересекаются в точке \((4;\ 2)\).
Проверка: \(\sqrt{4} = 2\) и \(6 - 4 = 2\). Других корней нет: \(\sqrt{x}\) возрастает, а \(6 - x\) убывает, поэтому они могут совпасть только один раз.
Ответ
Сколько корней имеет уравнение \(|x| = \dfrac{2}{x}\)? Найдите их.
Подсказка
Правая часть при \(x < 0\) отрицательна, а левая — никогда.
Решение
При \(x < 0\) правая часть отрицательна, а \(|x| > 0\) — корней нет.
При \(x > 0\) получаем \(x = \dfrac{2}{x}\), то есть \(x^2 = 2\), \(x = \sqrt{2}\).
На графиках: «галочка» \(y = |x|\) пересекает правую ветвь гиперболы \(y = \dfrac{2}{x}\) в одной точке, а левая ветвь лежит ниже оси \(Ox\).
Ответ
Для родителя
Как объяснить за 5 минут. Нарисуйте на клетчатом листе шесть маленьких графиков: прямую, гиперболу, параболу, кубическую параболу, ветвь корня и «галочку». Попросите ребёнка про каждый ответить на вопросы «где график выше оси?», «где он идёт вверх?», «есть ли у него самая низкая точка?». Это и есть свойства — их удобнее видеть на рисунке, чем зубрить таблицу.
Вопросы для проверки понимания: 1) Почему у \(y = \sqrt{x}\) нет значений при \(x < 0\)? 2) Чем отличаются графики \(y = \dfrac{5}{x}\) и \(y = -\dfrac{5}{x}\)? 3) Какие из шести функций чётные и как это видно по графику?
На что обратить внимание. Промежутки записывают с правильными скобками: квадратная — конец входит, круглая — не входит, у бесконечности всегда круглая. Для гиперболы промежутки монотонности перечисляют через «и», а не объединяют.