Алгебра. 9 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова

Задание 190

Задача 1

Условие (кратко)

а) Построить график функции f(x) = (x² − 9)/(x − 3) и описать её свойства (повышенной трудности).

Решение

Область определения: $x \ne 3$ . Сократим дробь:

f(x) = \dfrac{(x - 3)(x + 3)}{x - 3} = x + 3, \quad x \ne 3.

График — прямая $$y = x + 3$$ без точки с абсциссой 3: точка $(3;\ 6)$ «выколота» (рисуем пустым кружком). Точки прямой: $(-3;\ 0)$ , $(0;\ 3)$ .

Свойства:

$$D$$ : $x \ne 3$ ; $$E$$ : $y \ne 6$ ;
нуль функции $$x = -3$$ ;
$$f(x) > 0$$ при $x \in (-3;\ 3) \cup (3;\ +\infty)$ , $$f(x) < 0$$ при $$x < -3$$ ;
возрастает на $(-\infty;\ 3)$ и на $(3;\ +\infty)$ ;
наибольшего и наименьшего значений нет; ни чётная, ни нечётная.

Ответ

Прямая y = x + 3 с выколотой точкой (3; 6); x ≠ 3, y ≠ 6, нуль x = −3, f(x) > 0 при x > −3, x ≠ 3, возрастает

Почему так

После сокращения дроби остаётся линейная функция, но значение, при котором знаменатель равен нулю, из области определения исключается.

Подробнее — в теме «Графики и свойства основных видов функций».

Задача 2

Условие (кратко)

б) Построить график функции f(x) = (x² − 6x − 7)/(x + 1) и описать её свойства (повышенной трудности).

Решение

Область определения: $x \ne -1$ . Корни числителя: $$x^2 - 6x - 7 = 0$$ , $$x_1 = 7$$ , $$x_2 = -1$$ , значит $$x^2 - 6x - 7 = (x - 7)(x + 1)$$ .

f(x) = \dfrac{(x - 7)(x + 1)}{x + 1} = x - 7, \quad x \ne -1.

График — прямая $$y = x - 7$$ с выколотой точкой $(-1;\ -8)$ . Точки прямой: $(0;\ -7)$ , $(7;\ 0)$ .

Свойства:

$$D$$ : $x \ne -1$ ; $$E$$ : $y \ne -8$ ;
нуль функции $$x = 7$$ ;
$$f(x) > 0$$ при $$x > 7$$ , $$f(x) < 0$$ при $x \in (-\infty;\ -1) \cup (-1;\ 7)$ ;
возрастает на $(-\infty;\ -1)$ и на $(-1;\ +\infty)$ ;
наибольшего и наименьшего значений нет; ни чётная, ни нечётная.

Ответ

Прямая y = x − 7 с выколотой точкой (−1; −8); x ≠ −1, y ≠ −8, нуль x = 7, f(x) > 0 при x > 7, возрастает

Почему так

Числитель раскладывается на множители $$(x - 7)(x + 1)$$ , и дробь сокращается до линейной функции с выколотой точкой.

Подробнее — в теме «Графики и свойства основных видов функций».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Алгебра. 9 класс» (Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; под ред. С. А. Теляковского; Просвещение, 2023).

Нашли ошибку?

УрокГид — https://urokgid.ru/uchebniki/algebra-9-makarychev-mindyuk-neshkov-suvorova/dopolnitelnye-uprazhneniya-k-glave-2/upr-190/