Алгебра. 9 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова

Задание 199

Задача 1

Условие (кратко)

а) Построить график функции y = x|x| (повышенной трудности).

Решение

Раскроем модуль:

y = \begin{cases} x^2, & x \ge 0, \\ -x^2, & x < 0. \end{cases}

Справа от оси $$Oy$$ — правая ветвь параболы $$y = x^2$$ , слева — левая ветвь параболы $$y = -x^2$$ .

$$x$$	−2	−1	0	1	2
$$y$$	−4	−1	0	1	4

Функция нечётная и возрастает на всей числовой прямой.

Слева y = x|x|: справа от оси Oy ветвь параболы y = x², слева ветвь y = −x², кривая возрастает. Справа y = −x³/|x|: слева ветвь y = x², справа ветвь y = −x², начало координат выколото. — Модуль раскрывают отдельно при x > 0 и x < 0; там, где знаменатель равен нулю, точка графика выколота.

Ответ

При x ≥ 0 — ветвь параболы y = x², при x < 0 — ветвь параболы y = −x²; функция возрастает, график симметричен относительно начала координат

Почему так

Модуль раскрывают отдельно при $x \ge 0$ и $$x < 0$$ , и график собирается из двух ветвей парабол.

Подробнее — в теме «Функция y = ax², её график и свойства».

Задача 2

Условие (кратко)

б) Построить график функции y = −x³/|x| (повышенной трудности).

Решение

Область определения: $x \ne 0$ . Так как $x^3 = x^2 \cdot x$ и $$x^2 = |x|^2$$ :

y = -\dfrac{x^3}{|x|} = \begin{cases} -x^2, & x > 0, \\ x^2, & x < 0. \end{cases}

Справа — ветвь параболы $$y = -x^2$$ , слева — ветвь параболы $$y = x^2$$ ; точка $(0;\ 0)$ выколота.

$$x$$	−2	−1	1	2
$$y$$	4	1	−1	−4

Функция нечётная, убывает на $(-\infty;\ 0)$ и на $(0;\ +\infty)$ . Это график $$y = -x|x|$$ без начала координат.

Ответ

При x < 0 — ветвь параболы y = x², при x > 0 — ветвь параболы y = −x²; точка (0; 0) выколота

Почему так

При $$x > 0$$ дробь $\dfrac{x^3}{|x|}$ равна $$x^2$$ , при $$x < 0$$ равна $$-x^2$$ , а в нуле функция не определена.

Подробнее — в теме «Функция y = ax², её график и свойства».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Алгебра. 9 класс» (Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; под ред. С. А. Теляковского; Просвещение, 2023).

Нашли ошибку?

УрокГид — https://urokgid.ru/uchebniki/algebra-9-makarychev-mindyuk-neshkov-suvorova/dopolnitelnye-uprazhneniya-k-glave-2/upr-199/