Что нужно знать до
Если что-то из этого забылось, начни оттуда — так будет понятнее.
Коротко о главном
Функция \(y = ax^2\) (\(a \ne 0\)) — простейшая квадратичная функция. Её график — парабола с вершиной в начале координат: при \(a > 0\) ветви идут вверх, при \(a < 0\) — вниз, и чем больше \(|a|\), тем парабола «уже».
Подробное объяснение
Бросьте мяч вверх или посмотрите на струю фонтана — линия, по которой они летят, похожа на параболу. Простейшая парабола — график функции \(y = x^2\), знакомый с 8 класса. Теперь добавим множитель: \(y = ax^2\), где \(a\) — любое число, кроме нуля.
Это частный случай квадратичной функции \(y = ax^2 + bx + c\) (при \(b = 0\) и \(c = 0\)). Область определения — все числа: возводить в квадрат можно что угодно.
Что делает коэффициент a
Сравним три функции при \(x = 2\): \(y = x^2\) даёт 4, \(y = 2x^2\) — 8, \(y = 0{,}5x^2\) — 2. Каждая точка графика \(y = 2x^2\) вдвое дальше от оси \(x\), чем соответствующая точка \(y = x^2\). Говорят, что график растянут от оси \(x\) в 2 раза. А \(y = 0{,}5x^2\) — это сжатие к оси \(x\) в 2 раза.
Если поменять знак \(a\), все значения поменяют знак: график \(y = -0{,}5x^2\) — зеркальное отражение \(y = 0{,}5x^2\) относительно оси \(x\).
Отсюда главное правило:
- \(a > 0\) — ветви параболы направлены вверх;
- \(a < 0\) — ветви направлены вниз;
- чем больше модуль \(|a|\), тем круче поднимаются ветви и тем «уже» парабола.
Свойства функции y = ax²
Вершина любой такой параболы — точка \((0;\ 0)\), а ось \(y\) — её ось симметрии. Значения в точках \(x\) и \(-x\) равны, ведь \((-x)^2 = x^2\), — функция чётная.
| Свойство | \(a > 0\) | \(a < 0\) |
|---|---|---|
| Область определения | все числа | все числа |
| Знак при \(x \ne 0\) | \(y > 0\) | \(y < 0\) |
| Убывает на | \((-\infty;\ 0]\) | \([0;\ +\infty)\) |
| Возрастает на | \([0;\ +\infty)\) | \((-\infty;\ 0]\) |
| Наименьшее значение | 0 при \(x = 0\) | нет |
| Наибольшее значение | нет | 0 при \(x = 0\) |
| Область значений | \([0;\ +\infty)\) | \((-\infty;\ 0]\) |
Почему при \(a > 0\) функция растёт справа от нуля? Возьмём \(0 \le x_1 < x_2\). Тогда \(x_1^2 < x_2^2\), и после умножения на положительное \(a\) неравенство сохраняется: \(ax_1^2 < ax_2^2\). Большему аргументу — большее значение.
Как это работает для любых функций
Те же приёмы годятся для любого графика: \(y = -f(x)\) — отражение \(y = f(x)\) относительно оси \(x\), а \(y = af(x)\) при \(a > 1\) — растяжение от оси \(x\) в \(a\) раз, при \(0 < a < 1\) — сжатие к оси \(x\) в \(\dfrac{1}{a}\) раза.
Как решать задачи
- Найдите \(a\) и сразу определите по знаку, куда идут ветви, а по модулю — насколько парабола узкая.
- Чтобы построить график, составьте таблицу для \(x = 0, \pm 1, \pm 2, \pm 3\) (если \(a\) дробное, берите \(x\), при которых счёт удобный). Достаточно посчитать для положительных \(x\) — значения при отрицательных такие же.
- Чтобы найти \(y\) по \(x\), подставьте \(x\) в формулу: сначала квадрат, потом умножение на \(a\).
- Чтобы найти \(x\) по \(y\), решите уравнение \(ax^2 = y\): \(x^2 = \dfrac{y}{a}\). Если правая часть положительна — два корня \(\pm\sqrt{y/a}\), если ноль — один, если отрицательна — корней нет.
- Принадлежит ли точка графику — подставьте её абсциссу и сравните результат с ординатой.
- Точки пересечения с прямой \(y = kx + b\) — решите уравнение \(ax^2 = kx + b\) и найдите \(y\) для каждого корня.
Разобранные примеры
Значение функции и точки с заданным y
Дана функция \(y = -0{,}25x^2\). Найдите \(y\) при \(x = 6\) и значения \(x\), при которых \(y = -4\).
\(y(6) = -0{,}25 \cdot 36 = -9\).
Решим \(-0{,}25x^2 = -4\): \(x^2 = 16\), \(x = 4\) или \(x = -4\).
Принадлежит ли точка графику
Принадлежат ли графику функции \(y = 1{,}5x^2\) точки \(A(-4;\ 24)\) и \(B(3;\ -13{,}5)\)?
Для \(A\): \(1{,}5 \cdot (-4)^2 = 1{,}5 \cdot 16 = 24\) — совпадает с ординатой, точка лежит на графике.
Для \(B\): \(1{,}5 \cdot 3^2 = 13{,}5\), а ордината точки \(-13{,}5\). Не совпадает. Можно было и не считать: при \(a > 0\) все значения неотрицательны, а у \(B\) ордината отрицательна.
Пересечение параболы и прямой
Найдите координаты точек пересечения графиков \(y = -x^2\) и \(y = 4x + 3\).
В общих точках значения функций равны: \(-x^2 = 4x + 3\), то есть \(x^2 + 4x + 3 = 0\).
Корни: \(x_1 = -3\), \(x_2 = -1\) (их произведение 3, сумма \(-4\)).
Ординаты: \(y(-3) = -9\), \(y(-1) = -1\). Проверка по прямой: \(4 \cdot (-3) + 3 = -9\), \(4 \cdot (-1) + 3 = -1\).
Типичные ошибки
Знак \(y\) зависит только от знака \(a\): квадрат \(x^2\) всегда неотрицателен. Например, у \(y = 2x^2\) при \(x = -3\) получается \(2 \cdot 9 = 18\), а не \(-18\).
Сначала возводите \(x\) в квадрат (с минусом в скобках: \((-3)^2 = 9\)), потом умножайте на \(a\). Отрицательные значения бывают только при \(a < 0\).
Ученики думают, что \(y = -3x^2\) «шире», чем \(y = x^2\), раз \(-3 < 1\). Но ширину задаёт модуль \(|a|\), а знак отвечает лишь за направление ветвей.
Сравнивайте \(|a|\): у \(y = -3x^2\) модуль 3 — эта парабола уже, чем \(y = x^2\), просто смотрит вниз.
Из \(2x^2 = 8\) получают \(x = 2\) и забывают \(x = -2\). Парабола симметрична относительно оси \(y\), и горизонтальная прямая пересекает её в двух точках.
Из \(x^2 = 4\) следует \(x = \pm 2\). Проверьте себя по графику: точки должны быть симметричны.
Проверь себя
Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.
-
Какая из парабол самая «узкая» (сильнее всего прижата к оси \(y\))?
Показать ответ
Ответ: В) $y = -3x^2$
Ширину параболы определяет модуль \(a\), а не знак. Здесь самый большой модуль — \(|-3| = 3\).
-
Какие утверждения верны для функции \(y = -2x^2\)?
Правильных ответов несколько.
Показать ответ
Ответ: А) Ветви параболы направлены вниз; Б) Функция возрастает на промежутке (−∞; 0]; Г) Функция чётная
При \(a < 0\) ветви идут вниз, функция растёт до вершины и убывает после неё. Ноль — её наибольшее значение, а наименьшего нет. Все функции \(y = ax^2\) чётные.
-
Парабола \(y = ax^2\) проходит через точку \((2;\ 6)\). Найдите \(a\).
Показать ответ
Ответ: 1,5
Из \(6 = a \cdot 2^2\) получаем \(a = \dfrac{6}{4} = 1{,}5\).
-
Как получить график \(y = 3x^2\) из параболы \(y = x^2\)?
Показать ответ
Ответ: А) Растянуть от оси x в 3 раза
Каждая ордината увеличивается в 3 раза, а абсцисса не меняется — это растяжение от оси \(x\) в 3 раза.
-
Какова область значений функции \(y = 0{,}7x^2\)?
Показать ответ
Ответ: Б) [0; +∞)
При \(a > 0\) значения неотрицательны, а ноль достигается при \(x = 0\), поэтому \(E(y) = [0;\ +\infty)\).
Результат:
Задачи для тренировки
От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.
Функция задана формулой y = 3x². Найдите значения y при x = −2, x = 0,5 и x = 4.
Подсказка
Сначала возведите x в квадрат, потом умножьте на 3. Квадрат отрицательного числа положителен.
Решение
\(y(-2) = 3 \cdot (-2)^2 = 3 \cdot 4 = 12\).
\(y(0{,}5) = 3 \cdot 0{,}25 = 0{,}75\).
\(y(4) = 3 \cdot 16 = 48\).
Ответ
Куда направлены ветви параболы y = −0,3x²? Какое наибольшее значение принимает эта функция?
Подсказка
Посмотрите на знак коэффициента a.
Решение
Здесь \(a = -0{,}3 < 0\), поэтому ветви параболы направлены вниз. При любом \(x \ne 0\) значение \(-0{,}3x^2\) отрицательно, а при \(x = 0\) оно равно нулю.
Значит, наибольшее значение функции равно \(0\) (при \(x = 0\)), наименьшего нет.
Ответ
При каких x функция y = 0,5x² принимает значение 18?
Подсказка
Решите уравнение 0,5x² = 18. Не забудьте, что корней два.
Решение
\(0{,}5x^2 = 18\), откуда \(x^2 = 36\), то есть \(x = 6\) или \(x = -6\).
Это и понятно по графику: прямая \(y = 18\) пересекает параболу в двух точках, симметричных относительно оси \(y\).
Ответ
Парабола y = ax² проходит через точку A(−3; 36). Найдите a и выясните, проходит ли эта парабола через точку B(2; 16).
Подсказка
Подставьте координаты точки A в формулу и найдите a.
Решение
Подставим \(x = -3\) и \(y = 36\), получим \(36 = a \cdot 9\), откуда \(a = 4\). Функция — \(y = 4x^2\).
Для точки \(B\): \(4 \cdot 2^2 = 16\) — совпадает с ординатой точки. Значит, \(B\) лежит на параболе.
Ответ
Найдите координаты точек пересечения параболы y = 3x² и прямой y = 9x − 6.
Подсказка
Приравняйте правые части и решите квадратное уравнение.
Решение
\(3x^2 = 9x - 6\), то есть \(3x^2 - 9x + 6 = 0\), или \(x^2 - 3x + 2 = 0\).
По теореме Виета корни \(x_1 = 1\), \(x_2 = 2\).
Ординаты: \(y(1) = 3 \cdot 1 = 3\), \(y(2) = 3 \cdot 4 = 12\). Проверим по прямой: \(9 \cdot 1 - 6 = 3\), \(9 \cdot 2 - 6 = 12\) — верно.
Ответ
При каком значении b прямая y = 4x + b имеет с параболой y = x² ровно одну общую точку? Найдите эту точку.
Подсказка
Уравнение x² = 4x + b должно иметь ровно один корень — дискриминант равен нулю.
Решение
\(x^2 = 4x + b\), то есть \(x^2 - 4x - b = 0\). Один корень, когда дискриминант равен нулю:
Тогда \(x^2 - 4x + 4 = 0\), \((x - 2)^2 = 0\), \(x = 2\), \(y = 4\). Прямая \(y = 4x - 4\) касается параболы в точке \((2; 4)\).
Ответ
Для родителя
Как объяснить за 5 минут. Нарисуйте на клетчатой бумаге параболу \(y = x^2\) по точкам \((0;\ 0)\), \((\pm1;\ 1)\), \((\pm2;\ 4)\). Затем предложите ребёнку удвоить все «высоты» — получится \(y = 2x^2\), парабола уже. Если «высоты» сделать отрицательными, парабола перевернётся. Хорошая аналогия — струя воды из шланга: чем сильнее напор вверх, тем круче ветви.
Вопросы для проверки понимания: 1) Куда направлены ветви параболы \(y = -5x^2\) и почему? 2) Какая парабола уже: \(y = 0{,}2x^2\) или \(y = 2x^2\)? 3) Почему у функции \(y = 4x^2\) нет отрицательных значений?
На что обратить внимание. Ребёнок должен уверенно находить по формуле, куда идут ветви и где функция возрастает, не рисуя график. Частая беда — потеря второго корня, когда ищут \(x\) по \(y\).