Задача 1
Условие (кратко)
При каких значениях a и c квадратичная функция y = ax² + c имеет нули?
Решение
Функция квадратичная, поэтому \(a \ne 0\). Нули: \(ax^2 + c = 0\), \(x^2 = -\dfrac{c}{a}\). Уравнение имеет корни, когда \(-\dfrac{c}{a} \ge 0\), то есть \(a\) и \(c\) разных знаков или \(c = 0\).
Графически: парабола \(y = ax^2\), сдвинутая на \(c\) вдоль оси \(Oy\). При \(a > 0\) (ветви вверх) она пересекает ось \(Ox\), если вершина \((0;\ c)\) не выше оси: \(c \le 0\). При \(a < 0\) — если вершина не ниже оси: \(c \ge 0\).
Ответ
При a > 0 и c ≤ 0; при a < 0 и c ≥ 0
Почему так
Парабола \(y = ax^2 + c\) имеет нули, если её вершина \((0;\ c)\) лежит на оси \(Ox\) или по другую сторону от неё, чем направлены ветви.
Подробнее — в теме «Графики функций y = ax² + n и y = a(x − m)²».