Что нужно знать до
Если что-то из этого забылось, начни оттуда — так будет понятнее.
Коротко о главном
Параболы \(y = ax^2 + n\), \(y = a(x - m)^2\) и \(y = a(x - m)^2 + n\) — это та же парабола \(y = ax^2\), только перенесённая вдоль осей. Число \(n\) сдвигает её вверх или вниз, число \(m\) — вправо или влево, а вершина оказывается в точке \((m;\ n)\).
Подробное объяснение
Представьте, что парабола \(y = x^2\) вырезана из картона. Её можно поднять, опустить или передвинуть вбок, не поворачивая и не растягивая. Форма останется прежней, изменится только место. Именно это и делают числа \(n\) и \(m\) в формуле.
Сдвиг вверх и вниз: \(y = ax^2 + n\)
Сравним \(y = x^2\) и \(y = x^2 + 2\). При каждом \(x\) второе значение на 2 больше первого. Значит, каждая точка \((x_0;\ y_0)\) первого графика переходит в точку \((x_0;\ y_0 + 2)\) — на 2 единицы выше. Весь график поднимается на 2.
Правило: график \(y = ax^2 + n\) получается из \(y = ax^2\) сдвигом вдоль оси \(y\) на \(n\) единиц вверх, если \(n > 0\), и на \(|n|\) единиц вниз, если \(n < 0\). Вершина — точка \((0;\ n)\).
Сдвиг вправо и влево: \(y = a(x - m)^2\)
Возьмём \(y = (x - 3)^2\). Значение 0 эта функция принимает при \(x = 3\), значение 1 — при \(x = 2\) и \(x = 4\). Те же значения, что у \(y = x^2\), но на 3 единицы правее. Точка \((x_0;\ y_0)\) переходит в \((x_0 + 3;\ y_0)\).
Правило: график \(y = a(x - m)^2\) получается из \(y = ax^2\) сдвигом вдоль оси \(x\) на \(m\) единиц вправо, если \(m > 0\), и на \(|m|\) единиц влево, если \(m < 0\). Вершина — точка \((m;\ 0)\).
Знак здесь обманчив: минус в скобках означает сдвиг вправо, плюс — влево. Запись \((x + 2)^2\) — это \((x - (-2))^2\), то есть \(m = -2\), сдвиг на 2 влево.
Два сдвига сразу: \(y = a(x - m)^2 + n\)
Если в формуле есть и \(m\), и \(n\), выполняют оба переноса — в любом порядке. Вершина попадает в точку \((m;\ n)\), ось симметрии — прямая \(x = m\). Коэффициент \(a\) при сдвигах не меняется: при \(a > 0\) ветви направлены вверх, при \(a < 0\) — вниз, а чем больше \(|a|\), тем парабола «уже».
Эти правила работают для любой функции: график \(y = f(x - m) + n\) — это график \(y = f(x)\), сдвинутый на \(m\) вдоль оси \(x\) и на \(n\) вдоль оси \(y\).
Как решать задачи
- Приведите формулу к виду \(y = a(x - m)^2 + n\). Если в скобках плюс, запишите его как минус отрицательного числа: \(x + 5 = x - (-5)\).
- Выпишите \(a\), \(m\) и \(n\). Вершина — \((m;\ n)\), ось симметрии — \(x = m\).
- По знаку \(a\) определите направление ветвей.
- Для построения возьмите несколько точек параболы \(y = ax^2\) (например, \(x = \pm1\), \(\pm2\)) и сдвиньте каждую на \(m\) по горизонтали и на \(n\) по вертикали. Можно воспользоваться шаблоном параболы \(y = x^2\), если \(a = \pm1\).
- Если нужны нули функции, решите уравнение \(a(x - m)^2 + n = 0\). Нулей нет, если вершина выше оси \(x\) и ветви направлены вверх или вершина ниже оси \(x\) и ветви направлены вниз.
Разобранные примеры
Парабола, опущенная вниз
Постройте график функции \(y = x^2 - 4\) и найдите её нули.
Это парабола \(y = x^2\), сдвинутая на 4 единицы вниз. Вершина \((0;\ -4)\), ветви вверх.
| \(x\) | −3 | −2 | −1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(y\) | 5 | 0 | −3 | −4 | −3 | 0 | 5 |
Нули: \(x^2 - 4 = 0\), \(x^2 = 4\), \(x = -2\) или \(x = 2\) — это видно и в таблице.
Перевёрнутая и сдвинутая парабола
Опишите график функции \(y = -(x - 1)^2 + 3\): вершину, направление ветвей, точку пересечения с осью \(y\) и нули.
Здесь \(a = -1\), \(m = 1\), \(n = 3\). Это парабола \(y = -x^2\), сдвинутая на 1 вправо и на 3 вверх. Вершина \((1;\ 3)\), ветви вниз.
Пересечение с осью \(y\): при \(x = 0\) получаем \(y = -(0 - 1)^2 + 3 = -1 + 3 = 2\).
Нули: \((x - 1)^2 = 3\), \(x - 1 = \pm\sqrt3\), \(x = 1 \pm \sqrt3\).
Формула по вершине
Параболу \(y = 2x^2\) перенесли так, что её вершина оказалась в точке \((-3;\ -8)\). Запишите формулу новой параболы и найдите точки её пересечения с осями координат.
Вершина \((m;\ n) = (-3;\ -8)\), коэффициент не меняется: \(y = 2(x + 3)^2 - 8\).
С осью \(y\): \(x = 0\), \(y = 2 \cdot 9 - 8 = 10\), точка \((0;\ 10)\).
С осью \(x\): \(2(x + 3)^2 = 8\), \((x + 3)^2 = 4\), \(x + 3 = 2\) или \(x + 3 = -2\), откуда \(x = -1\) или \(x = -5\).
Типичные ошибки
Кажется, что в \(y = (x + 2)^2\) «плюс» означает сдвиг вправо. Но вершина там, где скобка равна нулю: \(x + 2 = 0\) при \(x = -2\). Это левее начала координат.
Ищите \(x\), при котором скобка обращается в ноль, — это абсцисса вершины. \((x + 2)^2\) — сдвиг на 2 влево, \((x - 2)^2\) — на 2 вправо.
Число вне скобок и число внутри скобок действуют по-разному. \(x^2 - 3\) уменьшает значения функции — график опускается. \((x - 3)^2\) меняет аргумент — график уходит вбок.
Вне скобок — сдвиг вдоль оси \(y\): вершина \((0;\ -3)\). Внутри скобок вместе с \(x\) — сдвиг вдоль оси \(x\): вершина \((3;\ 0)\).
Строя \(y = -(x - 3)^2 + 1\), сдвигают обычную параболу \(y = x^2\) с ветвями вверх. Получается совсем другой график.
Сначала определите форму по \(a\): при \(a < 0\) шаблон переворачивают ветвями вниз, и уже его переносят в вершину \((3;\ 1)\).
Проверь себя
Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.
-
Какая точка — вершина параболы \(y = (x + 4)^2 - 1\)?
Показать ответ
Ответ: Б) (−4; −1)
\(x + 4 = x - (-4)\), поэтому \(m = -4\), а \(n = -1\). Вершина \((-4;\ -1)\).
-
Как получить график \(y = x^2 + 5\) из графика \(y = x^2\)?
Показать ответ
Ответ: В) Сдвинуть на 5 единиц вверх
Слагаемое \(+5\) вне скобок увеличивает каждое значение функции на 5 — график поднимается вдоль оси \(y\).
-
Какие утверждения о параболе \(y = -3(x - 2)^2\) верны?
Правильных ответов несколько.
Показать ответ
Ответ: А) Ветви направлены вниз; Б) Вершина — точка (2; 0); Г) Ось симметрии — прямая x = 2
\(a = -3 < 0\) — ветви вниз; \((x - 2)\) означает сдвиг на 2 вправо, поэтому вершина \((2;\ 0)\) и ось симметрии \(x = 2\).
-
Чему равно наименьшее значение функции \(y = 4(x - 1)^2 + 7\)?
Показать ответ
Ответ: 7
Ветви направлены вверх, наименьшее значение — в вершине \((1;\ 7)\), оно равно 7.
-
На сколько единиц вправо сдвинута парабола \(y = 0{,}5(x - 6)^2\) относительно параболы \(y = 0{,}5x^2\)?
Показать ответ
Ответ: 6
График \(y = a(x - m)^2\) получается из \(y = ax^2\) сдвигом на \(m\) единиц вдоль оси \(x\); здесь \(m = 6\).
Результат:
Задачи для тренировки
От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.
Найдите вершину параболы \(y = -2(x + 1)^2 + 5\) и укажите, куда направлены её ветви.
Подсказка
В записи \(y = a(x - m)^2 + n\) вершина — точка \((m;\ n)\). Перепишите \(x + 1\) как \(x - (-1)\).
Решение
\(x + 1 = x - (-1)\), поэтому \(m = -1\), \(n = 5\). Вершина \((-1;\ 5)\). Коэффициент \(a = -2 < 0\) — ветви направлены вниз.
Ответ
Каким сдвигом из графика \(y = 3x^2\) получается график \(y = 3x^2 - 7\)?
Решение
Ко всем значениям функции прибавляется \(-7\), значит, каждая точка графика опускается на 7 единиц. Это сдвиг вдоль оси \(y\) на 7 вниз.
Ответ
Параболу \(y = -x^2\) сдвинули на 4 единицы вправо и на 1 единицу вверх. Запишите формулу новой параболы и найдите значение функции при \(x = 2\).
Подсказка
Сдвиг вправо на 4 — это \((x - 4)\) в скобках, сдвиг вверх на 1 — слагаемое \(+1\).
Решение
Новая парабола: \(y = -(x - 4)^2 + 1\).
При \(x = 2\): \(y = -(2 - 4)^2 + 1 = -4 + 1 = -3\).
Ответ
Найдите нули функции \(y = (x - 3)^2 - 4\).
Решение
\((x - 3)^2 - 4 = 0\), \((x - 3)^2 = 4\), откуда \(x - 3 = 2\) или \(x - 3 = -2\).
\(x = 5\) или \(x = 1\). Проверка по графику: вершина \((3;\ -4)\) ниже оси \(x\), ветви вверх — нулей два.
Ответ
Парабола \(y = a(x - m)^2\) имеет вершину \((2;\ 0)\) и проходит через точку \((4;\ 6)\). Найдите \(a\).
Подсказка
Вершина на оси \(x\) даёт \(m\), а вторую точку подставьте в формулу.
Решение
Вершина \((2;\ 0)\), значит, \(m = 2\) и \(y = a(x - 2)^2\).
Подставим точку \((4;\ 6)\): \(6 = a(4 - 2)^2 = 4a\), \(a = 1{,}5\).
Ответ
При каких значениях \(n\) парабола \(y = 2x^2 + n\) не пересекает ось \(x\)?
Решение
Вершина параболы — точка \((0;\ n)\), ветви направлены вверх (\(a = 2 > 0\)). Парабола не пересекает ось \(x\), если вершина лежит выше этой оси, то есть \(n > 0\). При \(n = 0\) парабола касается оси в начале координат, при \(n < 0\) пересекает её в двух точках.
Ответ
Для родителя
Как объяснить за 5 минут. Нарисуйте на кальке параболу \(y = x^2\) по точкам (0; 0), (±1; 1), (±2; 4) и положите её на лист в клетку с осями. Двигайте кальку: на 2 клетки вверх — получится \(y = x^2 + 2\), на 3 клетки вправо — \(y = (x - 3)^2\). Ребёнок увидит, что форма не меняется, а вершина переезжает в точку \((m;\ n)\).
Вопросы для проверки понимания: 1) Где вершина параболы \(y = (x + 1)^2 - 5\)? (В точке (−1; −5).) 2) Чем отличаются графики \(y = x^2 + 4\) и \(y = (x + 4)^2\)? (Первый поднят на 4, второй сдвинут на 4 влево.) 3) Куда направлены ветви параболы \(y = -2(x - 3)^2\)? (Вниз.)
На что обратить внимание. Главная ловушка — знак в скобках: плюс означает сдвиг влево. Попросите ребёнка каждый раз проверять себя вопросом «при каком \(x\) скобка равна нулю?».