Алгебра. 9 класс · Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова

Задание 205

Задача 1

Условие (кратко)

а) Построить график функции y = x² + 2x − 15 и описать её свойства.

Решение

Ветви вверх ( $$a = 1 > 0$$ ). Вершина: $x_0 = -\dfrac{2}{2} = -1$ , $$y_0 = 1 - 2 - 15 = -16$$ . Нули: $$x^2 + 2x - 15 = 0$$ , $$x_1 = -5$$ , $$x_2 = 3$$ . С осью $$Oy$$ : $(0;\ -15)$ .

$$x$$	−5	−3	−1	1	3
$$y$$	0	−12	−16	−12	0

Свойства:

$D = (-\infty;\ +\infty)$ , $E = [-16;\ +\infty)$ ;
нули $$-5$$ и $$3$$ ; $$y > 0$$ при $x \in (-\infty;\ -5) \cup (3;\ +\infty)$ , $$y < 0$$ при $x \in (-5;\ 3)$ ;
убывает на $(-\infty;\ -1]$ , возрастает на $[-1;\ +\infty)$ ;
наименьшее значение $$-16$$ при $$x = -1$$ , наибольшего нет.

Ответ

Вершина (−1; −16), нули −5 и 3; E = [−16; +∞); убывает на (−∞; −1], возрастает на [−1; +∞); y < 0 на (−5; 3)

Почему так

График квадратичной функции строят по вершине $x_0 = -\dfrac{b}{2a}$ , нулям и нескольким симметричным точкам.

Подробнее — в теме «Построение графика квадратичной функции».

Задача 2

Условие (кратко)

б) Построить график функции y = 0,5x² − 3x + 4 и описать её свойства.

Решение

Ветви вверх. Вершина: $x_0 = \dfrac{3}{2 \cdot 0{,}5} = 3$ , $y_0 = 4{,}5 - 9 + 4 = -0{,}5$ . Нули: $0{,}5x^2 - 3x + 4 = 0$ , $$x^2 - 6x + 8 = 0$$ , $$x_1 = 2$$ , $$x_2 = 4$$ . С осью $$Oy$$ : $(0;\ 4)$ .

$$x$$	0	2	3	4	6
$$y$$	4	0	−0,5	0	4

Свойства:

$D = (-\infty;\ +\infty)$ , $E = [-0{,}5;\ +\infty)$ ;
нули 2 и 4; $$y > 0$$ при $x \in (-\infty;\ 2) \cup (4;\ +\infty)$ , $$y < 0$$ при $x \in (2;\ 4)$ ;
убывает на $(-\infty;\ 3]$ , возрастает на $[3;\ +\infty)$ ;
наименьшее значение $$-0{,}5$$ при $$x = 3$$ , наибольшего нет.

Ответ

Вершина (3; −0,5), нули 2 и 4; E = [−0,5; +∞); убывает на (−∞; 3], возрастает на [3; +∞); y < 0 на (2; 4)

Почему так

Вершина $x_0 = -\dfrac{b}{2a}$ , нули — корни квадратного уравнения.

Подробнее — в теме «Построение графика квадратичной функции».

Задача 3

Условие (кратко)

в) Построить график функции y = 4 − 0,5x² и описать её свойства.

Решение

Это парабола $y = -0{,}5x^2$ , поднятая на 4: ветви вниз, вершина $(0;\ 4)$ . Нули: $0{,}5x^2 = 4$ , $$x^2 = 8$$ , $x = \pm 2\sqrt{2} \approx \pm 2{,}83$ .

$$x$$	−4	−2	0	2	4
$$y$$	−4	2	4	2	−4

Свойства:

$D = (-\infty;\ +\infty)$ , $E = (-\infty;\ 4]$ ;
нули $\pm 2\sqrt{2}$ ; $$y > 0$$ при $x \in (-2\sqrt{2};\ 2\sqrt{2})$ , $$y < 0$$ при $|x| > 2\sqrt{2}$ ;
возрастает на $(-\infty;\ 0]$ , убывает на $[0;\ +\infty)$ ;
наибольшее значение 4 при $$x = 0$$ , наименьшего нет;
функция чётная.

Ответ

Вершина (0; 4), ветви вниз, нули ±2√2; E = (−∞; 4]; возрастает на (−∞; 0], убывает на [0; +∞); чётная

Почему так

График $$y = ax^2 + n$$ — парабола $$y = ax^2$$ , сдвинутая на $$n$$ вдоль оси $$Oy$$ .

Подробнее — в теме «Построение графика квадратичной функции».

Задача 4

Условие (кратко)

г) Построить график функции y = 6x − 2x² и описать её свойства.

Решение

Ветви вниз ( $$a = -2$$ ). Нули: $$2x(3 - x) = 0$$ , $$x = 0$$ и $$x = 3$$ . Вершина посередине между нулями: $x_0 = 1{,}5$ , $y_0 = 9 - 4{,}5 = 4{,}5$ .

$$x$$	−1	0	1,5	3	4
$$y$$	−8	0	4,5	0	−8

Свойства:

$D = (-\infty;\ +\infty)$ , $E = (-\infty;\ 4{,}5]$ ;
нули 0 и 3; $$y > 0$$ при $x \in (0;\ 3)$ , $$y < 0$$ при $x \in (-\infty;\ 0) \cup (3;\ +\infty)$ ;
возрастает на $(-\infty;\ 1{,}5]$ , убывает на $[1{,}5;\ +\infty)$ ;
наибольшее значение 4,5 при $$x = 1{,}5$$ , наименьшего нет.

Ответ

Вершина (1,5; 4,5), нули 0 и 3; E = (−∞; 4,5]; возрастает на (−∞; 1,5], убывает на [1,5; +∞); y > 0 на (0; 3)

Почему так

Вершина параболы лежит на оси симметрии — посередине между нулями.

Подробнее — в теме «Построение графика квадратичной функции».

Задача 5

Условие (кратко)

д) Построить график функции y = (2x − 7)(x + 1) и описать её свойства.

Решение

Нули сразу видны: $$x = 3{,}5$$ и $$x = -1$$ . Раскроем скобки: $$y = 2x^2 - 5x - 7$$ , ветви вверх. Вершина посередине между нулями: $x_0 = \dfrac{3{,}5 + (-1)}{2} = 1{,}25$ , $y_0 = (2{,}5 - 7)(1{,}25 + 1) = -4{,}5 \cdot 2{,}25 = -10{,}125$ . С осью $$Oy$$ : $(0;\ -7)$ .

$$x$$	−1	0	1,25	2,5	3,5
$$y$$	0	−7	−10,125	−7	0

Свойства:

$D = (-\infty;\ +\infty)$ , $E = [-10{,}125;\ +\infty)$ ;
нули $$-1$$ и $$3{,}5$$ ; $$y > 0$$ при $x \in (-\infty;\ -1) \cup (3{,}5;\ +\infty)$ , $$y < 0$$ при $x \in (-1;\ 3{,}5)$ ;
убывает на $(-\infty;\ 1{,}25]$ , возрастает на $[1{,}25;\ +\infty)$ ;
наименьшее значение $$-10{,}125$$ при $$x = 1{,}25$$ , наибольшего нет.

Ответ

Вершина (1,25; −10,125), нули −1 и 3,5; E = [−10,125; +∞); убывает на (−∞; 1,25], возрастает на [1,25; +∞)

Почему так

Из записи $$a(x - x_1)(x - x_2)$$ сразу видны нули, а вершина — посередине между ними.

Подробнее — в теме «Построение графика квадратичной функции».

Задача 6

Условие (кратко)

е) Построить график функции y = (2 − x)(x + 6) и описать её свойства.

Решение

Нули: $$x = 2$$ и $$x = -6$$ . Раскроем скобки: $$y = -x^2 - 4x + 12$$ , ветви вниз. Вершина: $x_0 = \dfrac{2 + (-6)}{2} = -2$ , $$y_0 = (2 + 2)(-2 + 6) = 16$$ . С осью $$Oy$$ : $(0;\ 12)$ .

$$x$$	−6	−4	−2	0	2
$$y$$	0	12	16	12	0

Свойства:

$D = (-\infty;\ +\infty)$ , $E = (-\infty;\ 16]$ ;
нули $$-6$$ и 2; $$y > 0$$ при $x \in (-6;\ 2)$ , $$y < 0$$ при $x \in (-\infty;\ -6) \cup (2;\ +\infty)$ ;
возрастает на $(-\infty;\ -2]$ , убывает на $[-2;\ +\infty)$ ;
наибольшее значение 16 при $$x = -2$$ , наименьшего нет.

Ответ

Вершина (−2; 16), нули −6 и 2; E = (−∞; 16]; возрастает на (−∞; −2], убывает на [−2; +∞); y > 0 на (−6; 2)

Почему так

Коэффициент при $$x^2$$ после раскрытия скобок равен $$-1$$ , поэтому ветви направлены вниз.

Подробнее — в теме «Построение графика квадратичной функции».

Условия задач приведены кратким пересказом. Полный текст — в учебнике «Алгебра. 9 класс» (Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; под ред. С. А. Теляковского; Просвещение, 2023).

Нашли ошибку?

УрокГид — https://urokgid.ru/uchebniki/algebra-9-makarychev-mindyuk-neshkov-suvorova/dopolnitelnye-uprazhneniya-k-glave-2/upr-205/