Какие утверждения верны для функции y = -2x^2 + 8x - 6?

Ветви параболы направлены вниз

Вершина — точка (2; 2)

Нули функции — числа 1 и 3

График пересекает ось y в точке (0; 6)

График какой функции не пересекает ось x?

Функция y = x² + 2x + 5

Функция y = x² − 4x + 4

Построение графика квадратичной функции

Что нужно знать до

Если что-то из этого забылось, начни оттуда — так будет понятнее.

Графики функций y = ax² + n и y = a(x − m)²

Коротко о главном

График любой квадратичной функции $$y = ax^2 + bx + c$$ — парабола. Её вершина имеет абсциссу $x_0 = -\dfrac{b}{2a}$ , ось симметрии — прямая $$x = x_0$$ , ветви смотрят вверх при $$a > 0$$ и вниз при $$a < 0$$ .

x_0 = -\frac{b}{2a}, \qquad y_0 = a x_0^2 + b x_0 + c

Подробное объяснение

Мяч, брошенный под углом, летит по дуге: сначала поднимается, в верхней точке на миг «зависает», потом опускается по такой же дуге. Эта дуга — парабола, а верхняя точка — её вершина. Если знать, где вершина и как идут ветви, параболу можно нарисовать почти без вычислений.

Откуда берётся формула вершины

Из прошлых тем известно: график $$y = a(x - m)^2 + n$$ — это парабола $$y = ax^2$$ , сдвинутая так, что вершина попала в точку $(m;\ n)$ . Любой трёхчлен $$ax^2 + bx + c$$ можно привести к такому виду, выделив полный квадрат. Тогда получается $m = -\dfrac{b}{2a}$ . Значит, график $$y = ax^2 + bx + c$$ — та же парабола $$y = ax^2$$ , только перенесённая параллельно. Её «ширина» и направление ветвей зависят только от $$a$$ .

Ординату вершины запоминать не нужно: достаточно подставить $$x_0$$ в формулу функции.

Опорные точки параболы

Направление ветвей. При $$a > 0$$ ветви идут вверх, вершина — самая низкая точка, в ней функция принимает наименьшее значение. При $$a < 0$$ — наоборот, ветви вниз, в вершине наибольшее значение.
Вершина $(x_0;\ y_0)$ и ось симметрии $$x = x_0$$ — вертикальная прямая через вершину. Точки, одинаково удалённые от оси, имеют одинаковые ординаты.
Точка на оси $$y$$ . При $$x = 0$$ получаем $$y = c$$ , так что парабола всегда проходит через точку $(0;\ c)$ . Симметричная ей точка — $(2x_0;\ c)$ .
Нули функции — корни уравнения $$ax^2 + bx + c = 0$$ , точки пересечения с осью $$x$$ . Их два, если дискриминант $$D > 0$$ , один (вершина лежит на оси), если $$D = 0$$ , и ни одного, если $$D < 0$$ .

Парабола y = x² − 2x − 3 с ветвями вверх. Отмечены вершина (1; −4), пунктирная ось симметрии x = 1, нули (−1; 0) и (3; 0), точка (0; −3) на оси Oy и симметричная ей точка (2; −3). — Вершина, ось симметрии, нули и точка на оси Oy — опорные точки для построения параболы.

На схеме — функция $$y = x^2 - 2x - 3$$ . Здесь $$a = 1$$ , $$b = -2$$ , поэтому $x_0 = -\dfrac{-2}{2} = 1$ , $$y_0 = 1 - 2 - 3 = -4$$ . Нули — корни уравнения $$x^2 - 2x - 3 = 0$$ , это $$-1$$ и $$3$$ ; они симметричны относительно прямой $$x = 1$$ . На оси $$y$$ парабола проходит через $(0;\ -3)$ , а через симметричную точку $(2;\ -3)$ — тоже.

Как знаки $$a$$ и $$D$$ определяют положение параболы относительно оси $$x$$ , видно на второй схеме.

Шесть схем в две строки. Верхняя строка — ветви вверх (a > 0), нижняя — вниз (a < 0). По столбцам при D > 0 парабола пересекает ось x в двух точках, при D = 0 касается её вершиной, при D < 0 не имеет с осью общих точек. — Знак a задаёт направление ветвей, знак дискриминанта D — число общих точек с осью x.

Свойства, которые читают по графику

Когда парабола построена, по ней видны все свойства функции: нули, промежутки, где $$y > 0$$ и $$y < 0$$ , промежутки возрастания и убывания (они меняются в вершине) и множество значений. Например, при $$a > 0$$ множество значений — $[y_0;\ +\infty)$ , при $$a < 0$$ — $(-\infty;\ y_0]$ .

Как решать задачи

Определите знак $$a$$ — направление ветвей.
Найдите абсциссу вершины $x_0 = -\dfrac{b}{2a}$ и ординату $$y_0$$ подстановкой; проведите ось симметрии $$x = x_0$$ .
Отметьте точку $(0;\ c)$ и симметричную ей точку $(2x_0;\ c)$ .
Если нужно, найдите нули: решите уравнение $$ax^2 + bx + c = 0$$ .
Составьте таблицу ещё из 2–4 точек, беря значения $$x$$ симметрично относительно $$x_0$$ — ординаты у пар будут одинаковые.
Соедините точки плавной линией, без изломов в вершине.

Разобранные примеры

База

Парабола с ветвями вверх

Условие

Постройте график функции $$y = 2x^2 + 4x - 6$$ .

Решение

$$a = 2 > 0$$ — ветви направлены вверх.

Вершина: $x_0 = -\dfrac{4}{2 \cdot 2} = -1$ , $y_0 = 2 \cdot 1 - 4 - 6 = -8$ . Ось симметрии — $$x = -1$$ .

С осью $$y$$ : $(0;\ -6)$ , симметричная точка — $(-2;\ -6)$ .

Нули: $$2x^2 + 4x - 6 = 0$$ , то есть $$x^2 + 2x - 3 = 0$$ , $$x_1 = -3$$ , $$x_2 = 1$$ .

$$x$$	−3	−2	−1	0	1
$$y$$	0	−6	−8	−6	0

Отмечаем точки и соединяем плавной линией.

Ответ: Парабола с вершиной (−1; −8), ветви вверх, нули −3 и 1, пересекает ось y в точке (0; −6).

Средний

Парабола без нулей

Условие

Постройте график функции $$y = -x^2 + 4x - 5$$ и найдите множество её значений.

Решение

$$a = -1 < 0$$ — ветви вниз.

$x_0 = -\dfrac{4}{2 \cdot (-1)} = 2$ , $$y_0 = -4 + 8 - 5 = -1$$ . Вершина $(2;\ -1)$ лежит ниже оси $$x$$ , а ветви идут вниз, поэтому нулей нет (проверка: $$D = 16 - 20 < 0$$ ).

$$x$$	0	1	2	3	4
$$y$$	−5	−2	−1	−2	−5

Наибольшее значение $$-1$$ функция принимает в вершине, наименьшего нет.

Ответ: (−∞; −1]

Сложный

Подбор коэффициента по вершине

Условие

При каком значении $$c$$ наименьшее значение функции $$y = x^2 - 6x + c$$ равно 2?

Решение

$$a = 1 > 0$$ , поэтому наименьшее значение — ордината вершины.

$x_0 = -\dfrac{-6}{2} = 3$ , $$y_0 = 9 - 18 + c = c - 9$$ .

Условие $$c - 9 = 2$$ даёт $$c = 11$$ .

Ответ: c = 11

Типичные ошибки

Теряют минус в формуле вершины

Почему неверно

Для $$y = x^2 - 6x + 1$$ пишут $x_0 = \dfrac{b}{2a} = -3$ или $x_0 = -\dfrac{6}{2} = -3$ , забыв, что $$b = -6$$ . Вершина оказывается по другую сторону от оси $$y$$ , и весь график строится зеркально.

Как правильно

Сначала выпишите коэффициенты со знаками: $$a = 1$$ , $$b = -6$$ . Потом подставьте: $x_0 = -\dfrac{-6}{2 \cdot 1} = 3$ . Проверка: точки $(0;\ 1)$ и $(6;\ 1)$ должны быть симметричны относительно $$x = 3$$ .

Неверно возводят отрицательное число в квадрат

Почему неверно

В $y = -x^2 + \ldots$ при $$x = -2$$ считают $$-x^2 = 4$$ . Но минус стоит перед квадратом: сначала $$(-2)^2 = 4$$ , потом знак, получается $$-4$$ .

Как правильно

Подставляйте отрицательные значения в скобках: $$-(-2)^2 = -4$$ , $$(-2)^2 = 4$$ .

Ломают параболу в вершине

Почему неверно

Отметив несколько точек, их соединяют отрезками и получают «галочку» с острым углом в вершине. У параболы вершина гладкая, а ветви не превращаются в прямые.

Как правильно

Ведите плавную дугу, возьмите точки поближе к вершине (например, $x_0 \pm 1$ ) и проверьте симметрию: пары точек на одной высоте.

Проверь себя

Ответь на вопросы — после каждого ответа появится пояснение.

Проверь себя по всему разделу

Задачи для тренировки

От простых к сложным. Подсказку, решение и ответ открывай, только когда попробовал сам.

База Задача 1

Найдите координаты вершины параболы $$y = x^2 + 6x + 5$$ .

Подсказка

Абсцисса вершины $x_0 = -\dfrac{b}{2a}$ , ординату найдите подстановкой.

Решение

$$a = 1$$ , $$b = 6$$ , поэтому $x_0 = -\dfrac{6}{2 \cdot 1} = -3$ .

$y_0 = (-3)^2 + 6 \cdot (-3) + 5 = 9 - 18 + 5 = -4$ .

Ответ

(−3; −4)

База Задача 2

Найдите уравнение оси симметрии параболы $$y = 2x^2 - 12x + 1$$ и точку её пересечения с осью $$y$$ .

Подсказка

Ось симметрии проходит через вершину; на оси $$y$$ абсцисса равна нулю.

Решение

$x_0 = -\dfrac{-12}{2 \cdot 2} = 3$ , значит, ось симметрии — прямая $$x = 3$$ .

При $$x = 0$$ получаем $$y = c = 1$$ , точка пересечения с осью $$y$$ — $(0;\ 1)$ .

Ответ

x = 3; (0; 1)

Средний Задача 3

Найдите нули функции $$y = -x^2 + 2x + 3$$ и координаты вершины её графика.

Подсказка

Нули — корни уравнения $$-x^2 + 2x + 3 = 0$$ .

Решение

Умножим уравнение $$-x^2 + 2x + 3 = 0$$ на $$-1$$ : $$x^2 - 2x - 3 = 0$$ , $$D = 4 + 12 = 16$$ , $x = \dfrac{2 \pm 4}{2}$ , то есть $$x_1 = -1$$ , $$x_2 = 3$$ .

Вершина лежит посередине между нулями: $x_0 = \dfrac{-1 + 3}{2} = 1$ , $$y_0 = -1 + 2 + 3 = 4$$ .

Ответ

нули −1 и 3; вершина (1; 4)

Средний Задача 4

Найдите множество значений функции $$y = 2x^2 - 8x + 5$$ .

Подсказка

Ветви направлены вверх, значит, наименьшее значение функция принимает в вершине.

Решение

$$a = 2 > 0$$ — ветви вверх. $x_0 = -\dfrac{-8}{4} = 2$ , $y_0 = 2 \cdot 4 - 16 + 5 = -3$ .

Наименьшее значение равно $$-3$$ , наибольшего нет, поэтому $E(y) = [-3;\ +\infty)$ .

Ответ

[−3; +∞)

Сложный Задача 5

При каком значении $$c$$ парабола $$y = x^2 + 4x + c$$ касается оси $$x$$ ?

Подсказка

Касается — значит, вершина лежит на оси $$x$$ .

Решение

Вершина: $x_0 = -\dfrac{4}{2} = -2$ , $$y_0 = 4 - 8 + c = c - 4$$ .

Парабола касается оси $$x$$ , когда $$y_0 = 0$$ , то есть $$c = 4$$ . Тогда $$y = (x + 2)^2$$ .

Другой способ: у уравнения $$x^2 + 4x + c = 0$$ должен быть один корень, $$D = 16 - 4c = 0$$ , $$c = 4$$ .

Ответ

c = 4

Сложный Задача 6

Парабола $$y = ax^2 + bx + c$$ пересекает ось $$y$$ в точке $(0;\ 3)$ , а её вершина — точка $(2;\ -1)$ . Найдите $$a$$ , $$b$$ и $$c$$ .

Подсказка

Запишите функцию в виде $$y = a(x - 2)^2 - 1$$ .

Решение

Точка $(0;\ 3)$ на оси $$y$$ даёт $$c = 3$$ .

С вершиной $(2;\ -1)$ функцию можно записать как $$y = a(x - 2)^2 - 1$$ . Подставим $$x = 0$$ и $$y = 3$$ , получим $$4a - 1 = 3$$ , откуда $$a = 1$$ .

$$y = (x - 2)^2 - 1 = x^2 - 4x + 3$$ , поэтому $$b = -4$$ .

Ответ

a = 1, b = −4, c = 3

Для родителя

Как объяснить за 5 минут. Нарисуйте на клетчатом листе параболу $$y = x^2$$ и вырежьте её шаблон. Затем возьмите функцию, например $$y = x^2 - 2x - 3$$ : найдите вместе вершину по формуле $x_0 = -\dfrac{b}{2a}$ , приложите шаблон вершиной к точке $(1;\ -4)$ — и график готов. Покажите, что точки с одинаковой высотой стоят симметрично относительно вертикали через вершину.

Вопросы для проверки понимания: 1) Куда направлены ветви параболы $$y = -3x^2 + x$$ и почему? 2) Где парабола $$y = 2x^2 - 5x + 7$$ пересекает ось $$y$$ ? 3) Сколько общих точек с осью $$x$$ может быть у параболы и от чего это зависит?

На что обратить внимание. Ребёнок должен находить вершину по формуле со знаками коэффициентов, а не строить график «по десятку точек наугад». Хороший признак — он сам выбирает значения $$x$$ симметрично относительно вершины.

Где в учебниках

Учебник	Параграф	Упражнения
Алгебра. 9 класс (Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова)	§ 11	149, 150, 151, 152, 153, 154, 155, 156, 157, 158, 159, 160, 161, 162, 163, 164, 165, 166, 167