Задача 1
Высота брошенного вверх мяча h = 24t − 4,9t² (h — в метрах, t — в секундах). Какой наибольшей высоты достиг мяч? Когда он поднимался и опускался? Через сколько секунд упал?
Решение
- \(h = 24t - 4{,}9t^2\)
- \(h_{\max}\)
- промежутки подъёма и спуска
- время полёта
График — парабола с ветвями вниз. Вершина: \(t_0 = \dfrac{24}{2 \cdot 4{,}9} = \dfrac{24}{9{,}8} \approx 2{,}45\) с.
\(h_{\max} = 24 \cdot \dfrac{24}{9{,}8} - 4{,}9 \cdot \left(\dfrac{24}{9{,}8}\right)^2 = \dfrac{24^2}{4 \cdot 4{,}9} = \dfrac{576}{19{,}6} \approx 29{,}4\) м.
Мяч упал, когда \(h = 0\): \(t(24 - 4{,}9t) = 0\), \(t = 0\) (бросок) или \(t = \dfrac{24}{4{,}9} \approx 4{,}9\) с.
Функция возрастает на \([0;\ 2{,}45]\) — мяч поднимался, убывает на \([2{,}45;\ 4{,}9]\) — опускался.
Ответ
Наибольшее значение квадратичной функции с ветвями вниз — в вершине, а момент падения — ненулевой корень уравнения \(h = 0\).
Подробнее — в теме «Построение графика квадратичной функции».